A equação geral da posição de um objeto em movimento harmônico simples é dada por s ( t )   =   A   c o s ( ω t   +   φ ) , em que A ,   ω   e   φ são constantes. Determine v ( t ) .

Passo 1

Fala turminha, prontos pra mais uma de derivadas? Bora lá! Aqui a idéia da questão é obtermos a equação de velocidade a partir de uma equação de posição. Pra isso rolar, basta a gente derivar duas vezes a equação da posição. Bora começar a questão!

Passo 2

Primeiramente, a gente pode começar derivando uma vez a equação de posição.

s ( t )   =   A   c o s ( ω t   +   φ )

Aqui, precisamos lembrar que A ,   ω   e   φ são constantes e que a derivada de c o s ⁡ ( x ) é igual a - s e n ( x ) . Logo, da regra da cadeia, temos o ω saindo da equação como multiplicador, pois ele está dentro do seno como fator de t .

s ' t = A ⋅ - 1 ⋅ s e n   ω t + φ ⋅ ω

E pronto, esse é a equação de Velocidade e já matamos a questão! Agora uma curiosidade, você sabe o que acontece quando derivamos mais uma vez essa equação? Vamos derivar mais uma vez pra descobrirmos.

Passo 3

Para derivarmos mais uma vez, temos que lembrar que a derivada de s e n x é igual a c o s ⁡ ( x ) . Temos portanto:

s ' t = A ⋅ - 1 ⋅ s e n   ω t + φ ⋅ ω = v ( t )

s ' ' t = A ⋅ - 1 ⋅ c o s   ω t + φ ⋅ ω ⋅ ω

s ' ' t = - A ⋅ ω 2 ⋅ c o s   ω t + φ = a ( t )

Resposta

s ' t = A ⋅ - 1 ⋅ s e n   ω t + φ ⋅ ω = v ( t )

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