Uma equação em que a incógnita é uma função é chamada de e q u a ç ã o   f u n c i o n a l . Quando há derivadas nessa equação, chamamos de e q u a ç ã o   d i f e r e n c i a l . Assim como para equações tradicionais, uma função é uma solução da equação se, ao ser substituída no lugar da incógnita torna a igualdade verdadeira (igualdade do ponto de vista de funções, válida para todo valor de x). Mostre que y = 2 x 2 - 1 é uma solução da equação 3 x y ' - 6 y = 6 .

Passo 1

Oi, tudo bem? O problema deu essa equação

3 x y ' - 6 y = 6

E pediu para mostrar que y = 2 x 2 - 1 é solução dessa equação!

mas calma aí! Uma função ser solução de uma equação diferencial quando substituímos a própria função y e sua derivada y ' na equação diferencial e encontramos uma igualdade matemática!

Isso significa que, substituindo tudo, vamos ter

0 = 0

Ou alguma expressão matematicamente válida (por exemplo c t e = c t e )!

O que não podemos encontrar é 2 = 0 por exemplo! (ctes diferentes!)

Então a ideia é derivar a função dada e substituir ela e sua derivada na equação diferencial! Como o problema pediu para mostrar que y é solução, então precisamos encontrar uma sentença matematicamente válida, ok? Caso isso não ocorra, dá uma revisada nos seus cálculos!

Tranquilo?

Relaxa que vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A função que precisa ser derivada é

y = 2 x 2 - 1

Aqui é só aplicar a derivada de polinômio, como estamos habituados a fazer:

y ' = 4 x

Passo 3

Agora precisamos substituir y e y ' na equação diferencial:

3 x y ' - 6 y = 6

Do passo anterior y = 2 x 2 - 1 e y ' = 4 x então temos:

3 x 4 x - 6 2 x 2 - 1 = 6

Fazendo as multiplicações:

12 x 2 - 12 x 2 + 6 = 6

6 = 6

Oba! Encontramos uma sentença matematicamente válida!

Concluímos, portanto, que y = 2 x 2 - 1 é solução da equação diferencial 3 x y ' - 6 y = 6

Espero ter ajudado! Até a próxima!

Resposta

y = 2 x 2 - 1 é solução da equação diferencial 3 x y ' - 6 y = 6 (demonstração)

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