Nos exercícios 25 , e 26 , encontre y ' , se y = y ( x ) é definida implicitamente pela equação dada.

26 .   a r c s e n ( x y ) = x + y

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

Nós temos que encontrar a derivada y ' ( x ) = d d x [ y ( x ) ] , no entanto, a função está definida implicitamente através da relação

a r c s e n ( x y ) = x + y

Então como podemos achar a derivada? A resposta é bastante direta! REGRA DA CADEIA! Se nos lembrarmos, quando temos funções compostas, podemos escrever que

d d x [ f ( g ( x ) ) ] = d f ( g ) d g d g ( x ) d x

Vamos tentar aplicar isso para resolver o nosso problema! Bora lá!

Passo 2

Vamos derivar os dois lados de nossa função, temos que

d d x [ a r c s e n ( x y ) ] = d d x [ x ] + d d x [ y ]

aqui já podemos identificar algumas coisas, usando que

d d x [ x n ] = n   x n - 1

de forma que para n = 1 , temos

d d x [ x ] = 1

e temos que d d x [ y ] = y ' ( x ) , portanto, só nos resta resolver o lado esquerdo

d d x [ a r c s e n ( x y ) ] = 1 + y ' ( x )

Vamos aplicar a regra da cadeia agora!

Passo 3

Podemos identificar a nossa função composta como a r c s e n ( g ( x ) ) , em que g ( x ) = x y , portanto, aplicando a regra da cadeia, podemos escrever

d d x [ a r c s e n ( x y ) ] = d d g [ a r c s e n ( g ) ] d d x [ x y ]

a derivada de arcosseno é conhecida, temos que

d d g [ a r c s e n ( g ) ] = 1 1 - g 2

a outra derivada podemos fazer usando a regra do produto

d d x [ f ( x ) g ( x ) ] = d d x [ f ( x ) ] g ( x ) + f ( x ) d d x [ g ( x ) ]

em que temos que f ( x ) = x e g ( x ) = y ( x ) , usando a regra do tombo que apresentei antes, e identificando a derivada de y ( x ) , temos que

d d x [ x y ] = d d x [ x ] y ( x ) + x d d x [ y ] = y + x   y ' ( x )

Usando então que g ( x ) = x y , temos que

d d x [ a r c s e n ( x y ) ] = y + x   y ' ( x ) 1 - x 2 y 2

Vamos juntar todos os resultados para obtermos a derivada!

Passo 4

Usando o que calculamos nos passos anteriores, temos que

y + x   y ' ( x ) 1 - x 2 y 2 = 1 + y ' ( x )

Temos que isolar y ' ( x )

y 1 - x 2 y 2 - 1 = y ' ( x ) - x   y ' ( x ) 1 - x 2 y 2

colocando y ' ( x ) em evidência, temos

y 1 - x 2 y 2 - 1 = y ' ( x ) [ 1 - x   1 - x 2 y 2 ]

Obtemos então a nossa derivada como

y ' ( x ) = 1 - x 2 y 2 x [ y 1 - x 2 y 2 - 1 ]

a partir da definição ímplicita da função, podemos escrever que

y ( x ) = a r c s e n ( x y ) - x

e, portanto, temos que

y ' ( x ) = 1 - x 2 [ a r c s e n ( x y ) - x ] 2 x [ a r c s e n ( x ) - x 1 - x 2 y 2 - 1 ]

É um resultado bastante feinho! Mas é isso mesmo! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

y ' ( x ) = 1 - x 2 [ a r c s e n ( x y ) - x ] 2 x [ a r c s e n ( x ) - x 1 - x 2 y 2 - 1 ]

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