Faça o que se pede em cada item, indicando claramente a(s) propriedade(s) utilizada(s) durantes os respectivos cálculos:

(a) Sendo g x = e A sin ⁡ ln ⁡ x - ln ⁡ sin ⁡ 1 A e x , obtenha g ' x ;

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a derivada da função g x = e A sin ⁡ ln ⁡ x - ln ⁡ sin ⁡ 1 A e x , usando as propriedades da derivação.

Então, vamos lá!

Passo 2

De cara, como a gente tem uma subtração, a gente pode usar a propriedade da soma e subtração. Ela nos diz que a derivada da soma/subtração de uma função é igual a soma/substração das derivadas. Então, a gente pode separar em duas, fazendo:

g ' x = d d x e A sin ⁡ ln ⁡ x - ln ⁡ sin ⁡ 1 A e x

g ' x = d d x e A sin ⁡ ln ⁡ x - d d x ln ⁡ sin ⁡ 1 A e x

Agora vamos calcular uma por uma pra gente não se atrapalhar. No primeiro termo, temos:

d d x e A sin ⁡ ln ⁡ x

É uma função exponencial que tá elevada ao seno de um logaritmo natural. Então, a gente tem três funções, uma dentro da outra. Nesses casos de funções compostas, nós usamos a Regra da Cadeia para derivar. Basicamente a gente faz a derivada da função de fora aplicada na função de dentro e multiplica pela derivada da função de dentro, sempre de fora pra dentro. Então, fica assim:

d d x e A sin ⁡ ln ⁡ x = e A sin ⁡ ln ⁡ x d d x A sin ⁡ ln ⁡ x

Derivando as funções de dentro:

d d x e A sin ⁡ ln ⁡ x = e A sin ⁡ ln ⁡ x A cos ⁡ ( ln ⁡ x ) 1 x  

d d x e A sin ⁡ ln ⁡ x = A e A sin ⁡ ln ⁡ x cos ⁡ ln ⁡ x x

Passo 3

Agora vamos pegar o segundo termo:

d d x ln ⁡ sin ⁡ 1 A e x

Aqui a gente também tem uma função composta, então temos que aplicar a regra da cadeia. Derivando a função de fora aplicada na função de dentro e multiplicando pela derivada da função de dentro:

d d x ln ⁡ sin ⁡ 1 A e x = 1 sin ⁡ e x A d d x sin ⁡ e x A

Derivando o seno e exponencial (as funções de dentro):

d d x ln ⁡ sin ⁡ 1 A e x = 1 sin ⁡ e x A e x A cos ⁡ e x A  

= e x cos ⁡ e x A sin ⁡ e x A A

Como cosseno sobre seno é igual a cotangente, nós podemos escrever:

= e x cot ⁡ e x A A

Passo 4

Agora juntando tudo, nossa derivada vai ser:

g ' x = A e A sin ⁡ ln ⁡ x cos ⁡ ln ⁡ x x - e x cot ⁡ e x A A

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A e A sin ⁡ ln ⁡ x cos ⁡ ln ⁡ x x - e x cot ⁡ e x A A

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