3) Se f é uma função derivável e positiva, então ln ⁡ f x ' = f ' x f x . Vamos usar este fato para calcular a derivada da função

f x = x 2 7 x - 14 3 1 + x 2 4  

Tomando o logarítmo nos dois lados, e lembrando que a função logaritmo transforma produtos em soma e potências em produtos, obtemos

l n f x = 2 l n x + 1 3 l n 7 x - 14 - 4 l n 1 + x 2

Derivando, obtemos

1 f x f ' x = 2 x + 7 / 3 7 x - 14 - 8 x 1 + x 2

e, portanto,

f ' x = x 2 7 x - 14 3 1 + x 2 4 2 x + 7 / 3 7 x - 14 - 8 x 1 + x 2

O procedimento acima é chamado de derivação logarítmica. Use-o para derivar as funções abaixo.

(a) f x = x + 1 x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão, vamos aplicar um conceito um tanto quando diferente. No enunciado foi afirmado que ln ⁡ f x ' = f ' x f x , isolando f ' x de um lado da igualdade, podemos obter a derivada de f como

f ' x = f x · ln ⁡ f x '

A vantagem de usarmos esse método, é que em logaritmos produtos viram somas, quocientes viram subtrações e potencias viram produtos.

Para testar esse método, a questão nos pediu para usarmos a função

f x = x + 1 x

Vamos ver como fica ln ⁡ f x .

ln ⁡ f x = ln ⁡ x + 1 x

Se potência vira produto, então

ln ⁡ f x = x ln ⁡ x + 1

Com isso, montando f ' x , temos

f ' x = f x · d x ln ⁡ x + 1 d x

Entendeu? 😉

Passo 2

Para calcular a derivada de x ln ⁡ x + 1 , temos que aplicar a regra do produto, lembra dela??

Quando temos a uma função sendo o produto entre duas funções, no caso g x = p x · q x onde p x = x e q x = ln ⁡ x + 1 .

A derivada de g será

g ' x = p ' x · q x + p x · q ' x

Com isso, podemos afirmar que

d x ln ⁡ x + 1 d x = d x d x · ln ⁡ x + 1 + x · d ln ⁡ x + 1 d x

Vamos substituir essas informações em f ' x

f ' x = f x · d x d x · ln ⁡ x + 1 + x · d ln ⁡ x + 1 d x

f ' x = x + 1 x · d x d x · ln ⁡ x + 1 + x · d ln ⁡ x + 1 d x

Vamos calcular cada derivada separadamente pra facilitar na visualização do que estamos fazendo.

Tranquilo até aqui? 😎😎

Passo 3

Primeiro vamos calcular a derivada de x . Aplicando o método de derivação de polinômios onde multiplicamos a variável pela potência e subtraímos o expoente por 1 .

d x d x = 1 · x 1 - 1 = 1

Já a derivada de ln ⁡ x + 1 é obtida através da regra da cadeia, já que ln ⁡ x + 1 é uma função composta onde m n x = ln ⁡ x + 1 = ln ⁡ n x . Nesse caso a regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada por

m n x ' = n ' x · m ' n x ,     n x → u

Lembrando que em m ' n x temos que substituir n x por uma variável qualquer.

Com isso, temos

d ln ⁡ x + 1 d x = d x + 1 d x · d ln ⁡ u d u

Pelo método da derivada de polinômios lembrando que a derivada de uma constante é 0 .

d x + 1 d x = 1 · x 1 - 1 + 0 = 1

E a derivada de l n temos que decorar

d ln ⁡ u d u = 1 u

Não podemos deixar f ' x em função de u , então substituímos por n x de volta

u → n x = x + 1 ,     1 u → 1 x + 1

Interessante, não é? 🤩🤩

Passo 4

Por fim, substituímos os resultados que obtemos em f ' x

f ' x = x + 1 x · d x d x · ln ⁡ x + 1 + x · d ln ⁡ x + 1 d x

f ' x = x + 1 x · 1 · ln ⁡ x + 1 + x · 1 · 1 x + 1

Simplificando um pouquinho nossa equação, temos

f ' x = x + 1 x ln ⁡ x + 1 + x x + 1

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

f ' x = x + 1 x ln ⁡ x + 1 + x x + 1

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