3) Se f é uma função derivável e positiva, então ln ⁡ f x ' = f ' x f x . Vamos usar este fato para calcular a derivada da função

f x = x 2 7 x - 14 3 1 + x 2 4  

Tomando o logarítmo nos dois lados, e lembrando que a função logaritmo transforma produtos em soma e potências em produtos, obtemos

l n f x = 2 l n x + 1 3 l n 7 x - 14 - 4 l n 1 + x 2

Derivando, obtemos

1 f x f ' x = 2 x + 7 / 3 7 x - 14 - 8 x 1 + x 2

e, portanto,

f ' x = x 2 7 x - 14 3 1 + x 2 4 2 x + 7 / 3 7 x - 14 - 8 x 1 + x 2

O procedimento acima é chamado de derivação logarítmica. Use-o para derivar as funções abaixo.

(b) f x = s e n x cos ⁡ x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Foi apresentado para a gente um método novo para a obtenção de derivadas. Esse método é chamado de derivação logarítmica que consiste em obter uma derivada de uma função f como

f ' x = f x · ln ⁡ f x '

Mas você deve estar se perguntando: “Qual a vantagem disso?? 🤔🤔”

Bem, em alguns casos é muito difícil encontrar um método para obter uma derivada quando temos uma função muito estranha, como no nosso exemplo

f x = s e n x cos ⁡ x

Esse cosseno no expoente acaba com a felicidade de qualquer um!

Aí entra a vantagem de se usar a derivação logarítmica, pois pela propriedade de l n , o expoente vira produto. assim eliminamos o principal problema que tínhamos.

Vamos ver como fica nossa f ' x

f ' x = s e n x cos ⁡ x d ln ⁡ s e n x cos ⁡ x d x

Aplicando a propriedade do expoente, temos

f ' x = s e n x cos ⁡ x d cos ⁡ x ln ⁡ s e n x d x

Entendeu? 😎

Passo 2

Para calcular a derivada de cos ⁡ x ln ⁡ s e n x , vamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.

A regra do produto nos diz que quando temos uma função formada pelo produto de outras duas funções, temos por exemplo

g x = p x · q x ,     p x = cos ⁡ x ,   q x = ln ⁡ s e n x

g ' x = p ' x · q x + p x · q ' x

Mas perceba que q x é uma função composta, onde q x = m n x , m n x = ln ⁡ n x e n x = s e n x . Quando derivamos q vamos aplicar a regra da cadeia que nos diz o seguinte

q ' x = n ' x · m ' n x ,     n x → u

Na derivada de m , vamos substituir n ( x ) por uma variável qualquer.

Vamos construir g ' x e q ' x

g ' x = d cos ⁡ x d x · ln ⁡ s e n x + cos ⁡ x · d ln ⁡ s e n x d x

A derivada de ln ⁡ s e n x é nosso q ' , logo

q ' x = d s e n x d x · d ln ⁡ u d u

Perceba que já substituímos n x por u .

Substituindo q ' x em g ' x , temos

g ' x = d cos ⁡ x d x · ln ⁡ s e n x + cos ⁡ x · d s e n x d x · d ln ⁡ u d u

Agora substituindo g ' x em f ' x , temos

f ' x = s e n x cos ⁡ x d cos ⁡ x d x · ln ⁡ s e n x + cos ⁡ x · d s e n x d x · d ln ⁡ u d u

Está acompanhando? 👀👀

Passo 3

Por fim, vamos obter cada derivada separadamente pra organizar nossas ideias.

Primeiro vamos calcular a derivada de cos ⁡ x . Pelo teorema fundamental do cálculo, essa derivada resulta em - s e n x

d cos ⁡ x d x = - s e n x

A próxima é a derivada do s e n x . Também pelo teorema fundamental do cálculo, a resultante é cos ⁡ x

d s e n x d x = cos ⁡ x

Por último, a derivada de ln ⁡ u é dada como 1 / u pelo mesmo teorema dos anteriores.

d ln ⁡ u d u = 1 u

Porém não podemos deixar o resultado em função de u , então temos que substituir n x de volta em u , ou seja

u → n x ,     1 u = 1 s e n x

Tranquilo até aqui? 😁😁

Passo 4

Só nos resta substituir os resultados que obtemos no passo anterior em f ' x

f ' x = s e n x cos ⁡ x d cos ⁡ x d x · ln ⁡ s e n x + cos ⁡ x · d s e n x d x · d ln ⁡ u d u

f ' x = s e n x cos ⁡ x - s e n x · ln ⁡ s e n x + cos ⁡ x · cos ⁡ x · 1 s e n x

Organizando nosso resultado, temos

f ' x = s e n x cos ⁡ x cos 2 ⁡ x s e n x - s e n x ln ⁡ s e n x

Bacana, não é? Esse método facilitou muito nossa vida nesse caso!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

f ' x = s e n x cos ⁡ x cos 2 ⁡ x s e n x - s e n x ln ⁡ s e n x

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