A função secante , como o domínio restrito 0 , π 2 e contradomínio restrito ao intervalo 1 , ∞ , é bijetiva sendo portanto invertível. Sua inversa : [ 1 , ∞ ]   → 0 , π 2 é definida por

y x = ( x )   ↔ y ∈ 0 , π 2                       e     s e c s e c   y x   = x

Sabendo que ela é derivável em 1 , + ∞ , siga os passos abaixo para calcular y ' x

  1. Use a regra do quociente (ou a da cadeia) para mostrar que d d y s e c s e c   y   = s e c s e c   y   t a n t a n   y  
  2. Aplique o operador de derivação d d x em ambos da igualdade de x = s e c s e c   y x   não esquecendo de usar a regra da cadeia para derivar o lado direito da igualdade
  3. Isole o termo y ' ( x ) na expressão encontrada acima
  4. Lembrando que x = s e c s e c   y   e y = t g 2 y + 1   , escreva t g y como função de x
  5. Substitua s e c s e c   y   e t a n t a n   y   na sua resposta do item c) para obter a expressão y ' x como função apenas da variável x

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Essa é a questão que contém questões dependentes, ou seja, que por exemplo o tem b depende de a ou outra ordem. Então segue junto que vamos destrinchar essa questão

Para a)

Sabemos que a função secante é o inverso do cosseno, isto é s e c s e c   x   = 1 c o s c o s   x  

Assim:

d d y s e c s e c   y   = d d y 1 c o s c o s   y  

Bom, usaremos a regra da cadeia? Por que? Porque temos uma função que depende de uma outra função.

Façamos 1 = u e v = c o s c o s   y  

E assim a derivada é:

d d y u y v y = u ' v - v ' u v 2

A derivada de qualquer constante é nula porque já é uma reta, assim d d y 1 = 0 , e a derivada de cos(y) é menos seno, ou seja d d y c o s c o s   y   = - s i n s i n   y   . Assim:

d d y u y v y = u ' v - v ' u v 2 = 0 * c o s c o s   y   - 1 * - s i n s i n   y   y   = s i n s i n   y   y  

Resumindo então:

d d y s e c s e c   y   = = s i n s i n   y   y  

Mas t a n t a n   y   = s i n s i n   y   c o s c o s   y   . Assim:

d d y s e c s e c   y   = s i n s i n   y   y   = t a n t a n   y   c o s c o s   y   = t a n t a n   y   s e c s e c   y                 c . q . d

PS: a sigla “c.q.d” significa “como queríamos demonstrar”.

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Para b)

Temos então:

x = s e c s e c   y x  

Pede-se então:

d d x x = d d x s e c s e c   y x  

Como mostrado no item anterior, essa é uma função composta, quando tem uma função dentro da outra, assim temos que derivar usando a regra da cadeia.

E a derivada do lado esquerda é a normal que conhecemos, a derivada do decaimento, ou seja: d d x x n = n x n - 1

Logo:

d d x x = 1 x 1 - 1 = y ' x y ( x  

1 = y ' x x  

E como mostramos na questão anterior, já sabemos a derivada da secante. Sacou como as questões são dependentes?

1 = y ' x y ( x )   = y ' x t a n t a n   y ( x )   s e c s e c   y x  

Para c)

Bom, agora basta isolarmos y ' ( x ) da equação que achamos no último passo, ou seja:

1 = y ' x y x   = y ' x t a n t a n   y x   s e c s e c   y x   → y ' x = 1 t a n t a n   y x   s e c s e c   y x  

Resumindo:

y ' x = 1 t a n t a n   y x   s e c s e c   y x  

Passo 3

Para d)

Bom, sem muito segredo, é nos dado que:

( y )   + 1 = ( y )  

Assim:

y   = y   - 1

Isolando somente t a n t a n   y  

t a n t a n   y   = y   - 1

Como foi dado que x = s e c ⁡ ( y ) :

t a n t a n   y   = x 2 - 1

Para e)

Bom, do item c), sabemos que:

y ' x = 1 t a n t a n   y x   s e c s e c   y x  

Substituindo s e c s e c   y   = x e t a n t a n   y   = x 2 - 1

y ' x = 1 x   x 2 - 1

E terminamos por aqui, carinha. Até a próxima, meu chapa.

Resposta

Para a)

Mostrado no passo 1

Para b)

1 = y ' x t a n t a n   y x   s e c s e c   y x  

Para c)

y ' x = 1 t a n t a n   y x   s e c s e c   y x  

Para d)

t a n t a n   y   = x 2 - 1

Para e)

y ' x = 1 x   x 2 - 1

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