Indique por W ( V ) o trabalho realizado por um gás ideal ao se expandir isotermicamente desde um volume inicial V 0 até um volume V. podemos mostrar que em um unidades apropriadas, W V = C * ln ⁡ V V 0 , onde C > 0 é uma constante que depende da temperaturas e do número de mols do gás. Suponha que o volume seja uma função do tempo dada por V t = 2 t 4 + 1 ,   t ≥ 0 . A potência gerada pelo sistema é a taxa de variação do trabalho em relação ao tempo.

  1. Encontre as derivadas d d V W V e d d t V t
  2. Encontre a expressão da potência do sistema, P ( t ) = d d t W V t
  3. Sabendo que C = 10 , obtenha a potência do sistema quando o volume é 33.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Como é uma questão que conecta as os itens progressivamente, ou seja, o item b depende do item a por exemplo, nós temos que ser assertivos sobre o que fazemos. Sendo assim, segue comigo que juntos vamos resolver isso.

Saca só, vai ser muito útil a derivação pela regra da cadeia

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

para a)

assim:

d d V W V = d d V C * ln ⁡ V V 0

Assim temos que derivar primeiro o logaritmo e depois o termo dentro do logaritmo, sendo:

d d V W V = C * 1 V V 0 1 V 0 = C * V 0 V 1 V 0 = C V

E para a derivada do volume é a regra do decaimento, onde d d x x n = n x n - 1 , assim:

d d t V t = d d t 2 t 4 + 1 = 2 4 t 4 - 1 + 0 = 8 t 3

E para b)

Segue de maneira igual, isto é:

P t = d d t W V t

Mas W V t foi dado já:

W V t = C * ln ⁡ V t V 0

Mas V ( t ) foi dado também:

W V t = C * ln ⁡ 2 t 4 + 1 V 0

Derivando pela regar da cadeia como foi mostrado no passo a:

P = d d t C * ln ⁡ 2 t 4 + 1 V 0 = C V 0 2 t 4 + 1 8 t 3 + 0 V 0 = C * 8 t 3 2 t 4 + 1

Resumindo:

A potencia é:

P t = d d t W V t = C * 8 t 3 2 t 4 + 1

Passo 3

Para c)

Agora que já fizemos tudo certo, batsa fazermos a coisa mais fácil, que é colocarmos o valor numérico.

Antes precisamos achar o valor de t. dado que V = 33 :

V t = 33 = 2 t 4 + 1 → t 4 = 32 2 = 16 → t = 16 1 4 = 2

Assim podemos substituir agora todos os valores:

P t = 10 * 8 * 2 3 2 2 4 + 1 = 640 33

Resposta

Para a)

d d V W V = C V

d d t V t = 8 t 3

Para b)

P t = C * 8 t 3 2 t 4 + 1

Para c)

P = 640 33

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