Muitas tabelas de derivadas não vêm com a regra da cadeia de forma explícita, ela aparece embutida nas fórmulas das derivadas elementares. Por exemplo, é muito comum você encontrar s e n   u ' = u ' cos ⁡ u no lugar de s e n   x ' = cos ⁡ x . Neste exercício vamos aprender outro tipo de formulação.

Nesse exercício vamos aprender esse outro tipo de formulação.

a) Sejam f x = s e n   x e g x = u (pense aqui que u é uma função de x que omitimos o parêntesis com x) e considere h x = f ( g x ) . Escreva quem é h ( x ) explicitamente.

b) Nas mesmas condições do exercício acima, determine h ' ( x ) , deixando a resposta em termos de u .

(c) Juntando os itens (a) e (b) você descobriu que ( s e n   u ) ' =   u   '   c o s   u . Essa fórmula pode ser lida como “a derivada do seno de alguma coisa é a derivada da coisa vezes o cosseno da coisa”. Sem passar pela formulação da regra da cadeia original, utilize essa fórmula para determinar a derivada de f ( x )   =   s e n ( x 2   -   x   +   1 ) .

Passo 1

Fala turminha, bora pra cima! A questão como um todo eu dividi em três partes, pra não ficar não extenso em um único arquivo gigante. Então, bora lá! Primeiro pro item a), devemos escrever quem é h ( x ) , considerando as definições de h x ,   f x e   f ( g x ) .

h ( x ) = f ( g x )

g x = u

Logo,

h x = f ( u )

Mas... quem é f ( u ) ? Veja, basta aplicamos u dentro do s e n ( x ) que a questão nos dá. Portanto:

f u = s e n   ( u )

Logo,

g x = s e n   u

Passo 2

Agora pro item b), temos que derivar essa função que encontramos, permanecendo em termos de u . Logo, derivando essa função de s e n , obteremos uma função c o s . Mas, lembra da regra da cadeia? O nosso u já é definido por uma função. Logo, temos que multiplicar ele após a derivada. Se liga:

h ' x = f ' g x ⋅ g ' x

h ' x = cos ⁡ g x ⋅ g ' ( x )

g ' x = u '

Logo,

h ' x = cos ⁡ ( u ) ⋅ u '

Passo 3

Show, tranquilinho até aqui? Vamos partir pro item c). Nele, a questão nos apresenta o “ou seja” dos dois outros itens e agora podemos derivar uma nova função parecida com a que trabalhamos acima e observar como o conceito de u   e   u ' se comportam dentro da regra da cadeia. A função que ele quer que a gente derive é:

f x = s e n   ( x 2 - x + 1 )

Show, sem problemas. Usando o que a gente aprendeu nos passos 1 e 2, temos:

f x = s e n   ( x 2 - x + 1 )

Dentro do seno, podemos chamar essa função de u e, a partir disso, encontrarmos u ' e aplicarmos a definição da regra da cadeia. Portanto,

f x = s e n   ( x 2 - x + 1 )

u = x 2 - x + 1

u ' = 2 x - 1

Logo, juntando tudo isso na definição que a gente viu no passo 2:

f ' x = s e n   u ' = u ' ⋅ cos ⁡ u

f ' x = 2 x - 1 ⋅ cos ⁡ ( x 2 - 2 + x )

Resposta

s ' t = A ⋅ - 1 ⋅ s e n   ω t + φ ⋅ ω = v ( t )

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