Muitas tabelas de derivadas não vêm com a regra da cadeia de forma explícita, ela aparece embutida nas fórmulas das derivadas elementares. Por exemplo, é muito comum você encontrar s e n   u ' = u ' cos ⁡ u no lugar de s e n   x ' = cos ⁡ x . Neste exercício vamos aprender outro tipo de formulação.

Nesse exercício vamos aprender esse outro tipo de formulação.

d) Como você pode reobter a fórmula s e n   x ' = cos ⁡ x a partir de s e n   u ' = u ' cos ⁡ u ?

e) Utilize um raciocínio análogo com f x = x n e g x = u e descubra que u n ' = n u ' u n - 1

f) Usando a resposta do item anterior, calcule a derivada de f x = 2 x 3 - x 2 + 2 700 .

Passo 1

Fala turminha, bora pra cima! Pra gente responder o item d), basta a gente ter um pensamento análogo ao que a gente fez no item c). Temos:

s e n   u ' = u ' cos ⁡ u

se u = x → u ' = 1 .

Logo,

s e n   x ' = 1 cos ⁡ x

∴ s e n   x ' = cos ⁡ x

Passo 2

Pra resolver o item e), precisamos partir do item d), a gente pode reobter essa fórmula aproveitando as definições pra derivada com regra da cadeira do passo 2 e 3. Temos então:

h x = f g x = u n

h ' x = f ' g x ⋅ g ' ( x )

h ' x = f ' u ⋅ u ' = u ' ⋅ n ⋅ u n - 1

Portanto,

u n ' = u ' ⋅ n ⋅ u n - 1

Passo 3

Passo 4

Opaa, quase lá! Aqui no item f) ele nos pede pra calcular uma derivada usando isso que a gente aprendeu nos passos anteriores. A derivada é:

f x = 2 x 3 - x 2 + 2 700

Primeiro, dando nome aos bois, vamos definir quem é u e quem é u’.

u = 2 x 3 - x 2 + 2 ,   ∴ u ' = 6 x 2 - 2 x

Também sabemos que:

n = 700

u n - 1 = 2 x 3 - x 2 + 2 699

Agora, com tudo armado, vamos jogar na formula do passo anterior.

f ' x = n ⋅ u ' ⋅ u n - 1 = 700 ⋅ ( 6 x 2 - 2 x ) 2 x 3 - x 2 + 2 699

E é isso, item concluído 😊

Resposta

R e s p o s t a   n o s   p a s s o s

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