Muitas vezes quando vamos modelar um problema físico, uma equação diferencial é obtida. Por exemplo, ao aplicar as leis da Física ao problema de um objeto em queda livre em que supõe-se que a resistência do ar é proporcional à velocidade, a equação diferencial obtida para a velocidade do objeto é m v '   ( t )   +   k v ( t )   -   m g   =   0 , em que m é a massa do objeto, g é a aceleração da gravidade e k é a constante de proporcionalidade associada à resistência do ar. Mostre que v t = m g k   ( 1   -   e - k t m ) é uma solução para a equação.

Passo 1

Fala turma, bora resolver a questão?! Primeiro temos que derivar a equação de velocidade para verificar a equação da solução substituindo na equação diferencial para velocidade do objeto.

v t = m g k   1   -   e - k t m = m g k - m g k e - k t m

Derivando,

v ' t = d d t m g k - m g k e - k t m = 0 - d d t m g k e - k t m

Tranquilo. Vamos agora isolar a derivada e tentar achar a resposta.

v ' t - d d t m g k e - k t m = - m g k ⋅ d d t e - k t m

Essa derivada nos já conhecemos, ela é dada por:

v ' t = - m g k ⋅ - k m e - k t m = g   e - k t m

Passo 2

Verificando a nossa resposta, testamos. Substituindo o que a gente encontrou no passo 1:

m v ' t + k v t - m g = 0

m ⋅ g   e - k t m + k ⋅ m g k 1 - e - k t m   - m g = 0

E olha que legal, a gente pode simplificar isso tudo, resultando em:

0 = 0 , comprovando a reposta e satisfazendo a EDO.

Resposta

R e p o s t a   n o s   p a s s o s

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