6. (b) Prove que a reta tangente ao gráfico de f no ponto a , 1 - a 2 intercepta o gráfico apenas neste ponto

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema foi dada uma função f x = 1 - x 2 e com isso queremos mostrar que a reta tangente de f x nos pontos a , 1 - a 2 intersectam a função f apenas no seu próprio ponto de tangencia.

Tem ideia de como fazer isso? 😬

Dada uma função f , podemos obter sua reta tangente a partir da equação

y = f ' x 0 x - x 0 + y 0

Anteriormente vimos que a derivada de f x foi obtido pela regra da cadeia como

f ' x = - x 1 - x 2

Assim, substituindo x 0 e y 0 na equação, podemos obter a reta tangente de f no ponto a , 1 - a 2 .

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

Substituindo f ' x na equação da reta tangente, temos

y = f ' x 0 x - x 0 + y 0

y = - x 0 1 - x 0 2 x - x 0 + y 0

Substituindo o ponto x 0 , y 0 = a , 1 - a 2

y = - a 1 - a 2 x - a + 1 - a 2

Simplificando...

y = - a 1 - a 2 x - a + 1 - a 2

y = - a x + a 2 1 - a 2 + 1 - a 2

Igualando f x a y e aplicando o ponto a , 1 - a 2 em f x ...

1 - x 0 2 = - a x + a 2 1 - a 2 + 1 - a 2

1 - a 2 = - a x + a 2 1 - a 2 + 1 - a 2

Simplificando...

- a x + a 2 1 - a 2 = 0

- a x + a 2 = 0

x = a

Portanto, o único ponto em que a reta tangente de f e f se cruzam é quando x = a .

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

x = a

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