Questão 3. Considere um triângulo retângulo de catetos a e b e seja α o ângulo adjacente a a . Calcule ∂ α ∂ a e ∂ α ∂ b e aplique ao caso a = 1 , b = 2 .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão temos um triangulo retângulo de catetos a e b e α o ângulo adjacente a a .

Nessa situação, queremos obter as derivadas parciais ∂ α ∂ a e ∂ α ∂ b e depois aplicar o ponto 1,2 nos resultados.

Tem alguma ideia de como fazer isso? 😬

A primeira coisa que temos que fazer é escrever α em função de a e b . Pra isso podemos usar algumas relações trigonométricas a partir do triangulo retângulo.

A partir daí podemos escrever um valor infinitesimal de α em relação a um valor infinitesimal de a e b .

Compreendeu? Bora ver como é na prática 😉

Passo 2

Esboçando o triângulo retângulo, temos

A partir desse triângulo, podemos usar as relações trigonométricas da tangente como

tan ⁡ α = C O C A = b a

Assim, isolando α , vamos obter

α = arctan ⁡ b a

Portanto, podemos derivar α em função de a como pela regra da cadeia

∂ α ∂ a = ∂ arctan ⁡ u ∂ u ∂ b a ∂ a

∂ α ∂ a = 1 u 2 + 1 - b a 2

Como u = b a , então

∂ α ∂ a = 1 b a 2 + 1 - b a 2 = - b a 2 b 2 a 2 + 1

∂ α ∂ a = - b b 2 + a 2

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Agora vamos derivar α em relação a b pelo mesmo método

∂ α ∂ b = ∂ arctan ⁡ u ∂ u ∂ b a ∂ b = 1 u 2 + 1 1 a

Como u = b / a

∂ α ∂ b = 1 b a 2 + 1 1 a

∂ α ∂ b = 1 a b 2 a 2 + 1 = 1 b 2 a + a

∂ α ∂ b = a b 2 + a 2

Por fim, aplicando o ponto 1,2 nas derivadas, chegamos em

∂ α 1,2 ∂ a = - 2 2 2 + 1 2 → ∂ α 1,2 ∂ a = - 2 5

∂ α 1,2 ∂ b = 1 2 2 + 1 2 → ∂ α 1,2 ∂ b = 1 5

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∂ α ∂ a = - b b 2 + a 2

∂ α ∂ b = a b 2 + a 2

∂ α 1,2 ∂ a = - 2 5

∂ α 1,2 ∂ b = 1 5

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