A regra da cadeia diz que u   o   v ' = u ' o   v v ' .

a) Aplique a fórmula acima duas vezes em sequência e encontre uma regra para a derivada da composição u   ◦   v   ◦   w de três funções.

b) Estenda seu raciocínio para encontrar uma fórmula para a derivada da composição f 1   ◦ f 2   ◦ ·   ·   · ◦ f n de n funções.

c) Utilize a fórmula descoberta para calcular a derivada de f ( x )   =   s e n ( 1   +   c o s ( 1   +   t g ( 1   + x + x 2   ) ) ) .

Passo 1

Fala turma, bora resolver a questão?! Aqui no primeiro item, vamos decobrir essa primeira derivada em 3 funções. Temos que:

Fazendo g = v   o   w :

v o v o w ' = v o g ' = u ' o g g '

Mas como g = v o w , temos que:

g ' = v ' o w w ' , então

( u o v o w ) ' = ( u ' o v o w ) ( v ' o w ) w '

Passo 2

Para o item b), vamos estender o raciocínio para uma formula universal de derivadas em cadeia. Chamando g 1 = f 2   o   f 3 … o   f n :

f 1   o   g 1 ' = f 1 ' o   g 1 g 1 '

= f 1 ' o   f 2   o   f 3   o … o   f n f 2   o   f 3   o … o   f n '

Mas analogamente ao passo passado, f 2   o   f 3   o … o   f n ' = ( f 2 ' o   f 3   o … o   f n ) ( f 3   o … o   f n ) '

Nota-se então, que o padrão é:

( f 1   o   f 2   o … o   f n ) ' = ( f 1 ' o   f 2   o … o   f n ) ( f w ' o … o   f n ) … ( f n - 1   o   f n )   f n '

Passo 3

Por fim, pra finalizar a questão

Resposta

R e p o s t a   n o s   p a s s o s

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Encontre a derivada da função.G (y) = ((y - 1)^4)/((y^2 + 2 y)^5)
Encontre a primeira e a segunda derivadas da função. y = e α x sen ⁡ β x