Seja 2 x - 3 y + z = 1 a equação do plano tangente ao gráfico de f x , y no ponto 3,2 , f 3,2 . Se x u , v = u 2 + 2 , y u , v = 2 u v e F ( u , v ) = f x u , v , y u , v , calcule ∂ F ∂ u ( 1 ,   1 ) .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão, foi dado um plano tangente a uma função f x , y no ponto 3,2 , f 3,2 . Esse plano tangente é dado pela equação 2 x - 3 y + z = 1 .

Além disso, foi dado mais algumas informações como uma função F u , v que se relaciona com f x , y através de x u , v = u 2 + 2 e y u , v = 2 u v sendo F u , v =   f x u , v , y u , v .

Entendeu alguma coisa?? 🤔

Relaxa, sempre que temos uma função que está relacionada a outra função, a primeira coisa que devemos fazer é verificar se temos que usar a regra da cadeia para derivar a função.

Vemos que f está contida em F , já que F u , v =   f x u , v , y u , v , ou seja, temos que usar a regra da cadeia nesse probleminha.

Outra coisa que vamos usar é a formulinha do plano tangente de uma função, lembra dela?

L = f x 0 , y 0 , z 0 + f x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + f z x 0 , y 0 , z 0 z - z 0

É grandinha, mas vamos usa-la para fazer uma relação com o plano tangente que foi dado no enunciado.

Bora começar a montar nosso probleminha? 😁

Passo 2

Vamos começar pela relação do plano tangente com a formulinha.

Se a gente organizar L de modo a evidenciar x , y e z , vamos obter (para diminuir a extensão da formula, vamos chamar o ponto x 0 , y 0 , z 0 de P ).

L = f x P x + f y P y + f z P z + f P - f x P x 0 - f y P y 0 - f z P z 0

Comparando com a equação dada, temos

2 x - 3 y + 1 z - 1 = f x P x + f y P y + f z P z + f P - f x P x 0 - f y P y 0 - f z P z 0

Por igualdade de polinômios, podemos dizer que

f x P = 2 f y P = - 3 f z P = 1 f P - f x P x 0 - f y P y 0 - f z P z 0 = - 1 → f x P = 2 f y P = - 3 f z P = 1 f P = z 0 - 1

Daqui, vamos guardar as informações f x P = 2 e f y P = - 3 .

Agora vamos partir para a regra da cadeia.

Queremos a derivada de F 1,1 , ou seja, quando u e v forem iguais a 1 .

Se a gente substituir esse ponto 1,1 nas equações que relacionam x e y a u e v , temos

x u , v = u 2 + 2   y u , v = 2 u v

x 1,1 = 1 2 + 2   y 1,1 = 2 1 1

x 1,1 = 3   y 1,1 = 2

Veja só que maravilha! Nesse ponto u , v = 1,1 , x , y = 3,2

Essa coordenada em x , y não é exatamente o ponto em que o plano tangente foi obtido? 👀

Ou seja, o ponto P em coordenadas de u , v é o ponto 1,1 !

Interessante, não é?

Passo 3

Lembra como é a formulinha da regra da cadeia?

∂ F ∂ u = ∂ F ∂ x · ∂ x ∂ u

Como estamos no espaço R 2 , x e y estão relacionados a u

∂ F ∂ u = ∂ F ∂ x · ∂ x ∂ u , ∂ F ∂ y · ∂ y ∂ u

Se F u , v = f x u , v , y u , v , então ∂ F ∂ x e ∂ F ∂ y foram os dados que encontramos no passo anterior, concorda?

O que resta é derivar x e y com relação a u

∂ x ∂ u = ∂ u 2 + 2   ∂ u

∂ y ∂ u = ∂ 2 u v ∂ u

Por derivação de polinômios podemos encontrar as derivadas como

∂ x ∂ u = 2 u 2 - 1 + 2 · 0 = 2 u

∂ y ∂ u = 2 u 1 - 1 v = 2 v

Substituindo as coordenadas 1,1 nesses resultados, temos

∂ x 1,1 ∂ u = 2

∂ y 1,1 ∂ u = 2

Relembrando os dados que vamos usar:

f x P = 2   f y P = - 3   x u P = 2 y u P = 2

Substituindo em ∂ F ∂ u , temos

∂ F 1,1 ∂ u = ∂ F 1,1 ∂ x · ∂ x 1,1 ∂ u , ∂ F 1,1 ∂ y · ∂ y 1,1 ∂ u

∂ F 1,1 ∂ u = 2 · 2 , - 3 · 2

∂ F 1,1 ∂ u = 4 , - 6

A derivada de F no ponto 1,1 com relação a u é dada por 4 , - 6 !

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∂ F 1,1 ∂ u = 4 , - 6

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