C1) Seja f : R → [ 0 ,   + ∞ ) uma função tal que f 2 = 16 e f ' 2 = 8 . Determine g ' ( 2 ) , em que

g x = x f x + f ( x ) x + f x .

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Esse enunciado nos pede para encontrarmos g ' ( 2 ) . Mas o que isso significa?

g ' 2 é a derivada da função g no ponto em que x = 2 . Ou seja, o que devemos fazer é derivar g ( x ) e aplicarmos, quando necessário, o valor de x = 2 .

Vamos, então, avaliar g ( x ) . Perceba que dentro de g ( x ) temos alguns usos de f ( x ) . Calma, não se assuste! Vamos tratar todos os f ( x ) como uma variável qualquer. Precisamos derivar cada item dessa soma para encontrarmos g ' ( x ) .

Para começar, vamos avaliar x f ( x ) . Essa derivada é de um tipo muito comum quando iniciamos o estudo das diferenciais, já que é explicada pela definição de derivada por limite. Não é necessário entendermos matematicamente como chegar no resultado, vamos apenas considerar e guardar essa resposta para usarmos sempre que preciso. A derivada de x f ( x ) é:

x f ' x + f ( x )

Agora, vamos avaliar f x x . Assim como o caso anterior, essa expressão é muito comum e nos mostra a divisão de uma função pela sua própria variável o que, matematicamente, é uma constante! Como é uma constante, quando derivarmos ela sumirá. Mais uma vez não daremos ênfase à explicação de limite para esse caso, mas tenha em mente o uso sempre que precisar!

Por fim, vamos avaliar f x . Essa expressão pode ser reescrita como f x 1 2   . Essa derivada deve ser calculada considerando a regra da cadeia. Ok, mas quando usamos a regra da cadeia?

A regra da cadeia será utilizada sempre que tivermos uma função composta, que nada mais é do que uma função dentro de outra, ou seja um “aninhamento” de funções. Matematicamente, uma função composta é h ( j x ) , onde h = x 1 2 e j = f ( x ) , e sua derivada é: h ' j x * j ' ( x ) .

Para o nosso caso:

1 2 * f x 1 2 - 1 * f ' ( x )

1 2 * f x - 1 2 * f ' ( x )

Essa expressão pode ser simplificada como:

f ' ( x ) 2 f x

Portanto:

g ' x = x f ' x + f x + f ' ( x ) 2 f x

Passo 2

Agora que sabemos a derivada g ' ( x ) , precisamos encontrar g ' ( 2 ) . Você com certeza reparou que há f ' ( x ) e f ( x ) aparecendo. Isso NÃO é um problema! Como queremos encontrar a derivada no ponto x = 2 , precisamos utilizar, na verdade, f ' ( 2 ) e f ( 2 ) . Isso mesmo! O enunciado nos deu esses valores.

Vamos aplicar?

g ' x = 2 * 8 + 16 + 8 2 16

g ' x = 16 + 16 + 8 2 * 4

g ' x = 32 + 8 8

g ' x = 32 + 1 = 33

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

g ' x = 33

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