21– Seja y = 1 x 2 . Verifique se x d y d x + 2 y = 0

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

O problema deu pra gente a função

y = 1 x 2

E pediu pra gente verificar se

x d y d x + 2 y = 0

O lance aqui é a gente ver exatamente o que o problema está pedindo pra gente verificar. Na verificação precisaremos multiplicar x pela derivada de y em relação à x que é esses d y d x , depois devemos somar isso a 2 y e essa soma tem que ser igual a zero. Ou seja, se a gente fizer tudo certinho, o lado esquerdo terá que dar zero. Sacou?!

Bom, então vamos precisar de todas as partes dessa relação, e para isso precisamos saber quem é y e quem é d y d x .

Bora descobrir! Partiu?!😎

Passo 2

O enunciado já nos disse que y = 1 x 2

Mas ainda precisamos achar d y d x .

Ou seja, precisamos derivar a função y em relação a x . Mas do jeito que essa função está escrita, fica um pouquinho mais difícil de aplicar as regras de derivação.

Por conta disso, antes de fazer a derivada, vamos subir o x 2 que está no denominador da função, colocando ele na parte de cima com o expoente negativo.

Assim:

y = x - 2

Agora a função se tornou uma função do tipo x n , e sua derivada se dá por:

y = x n → d y d x = n x n - 1

Aplicando a nossa função, ficaremos com

d y d x =   - 2 x - 3

Que como possui um expoente negativo, pode ser escrita como:

d y d x = - 2 x 3  

Passo 3

Maravilha, agora o que nos resta é colocar tudo na relação que o problema deu pra gente, que é essa aqui:

x d y d x + 2 y = 0

Substituindo d y d x por - 2 x 3 e y por 1 x 2 , ficamos com:

x - 2 x 3 + 2 1 x 2 = 0

Simplificando a primeira parcela e multiplicando a segunda, teremos:

- 2 x 2 + 2 x 2 = 0

Perceba que o lado esquerdo da equação é composto de duas parcelas simétricas que dará zero, mostrando que a relação é verdadeira.

E é isso! Essa resolução te ajudou? Responde A��! ✌

Resposta

Demonstração.

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