Sejam f x = a x + b x 2 e g x = a   s e n 5 x + b x e - x + 6 ln ⁡ ( x + 1 ) . Determine a , b   ∈ R tais que f ' 1 = - 11 e g ' 0 = 25 .

Passo 1

Oi, tudo bem? O problema deu duas funções:

f x = a x + b x 2

E

g x = a   s e n 5 x + b x e - x + 6 ln ⁡ ( x + 1 )

a e b

Mas calma! O problema também deu essas informações quanto as derivadas dessas funções, saca só

f ' 1 = - 11

g ' 0 = 25

Então a ideia aqui é calcular as derivadas dessas funções e aplicar essas condições aí! Com isso, para cada informação, vamos ter uma equação com a e b . Como temos duas equações e duas incógnitas, é só resolver um sistema!

Tranquilo? Não?

Mas calma que vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar derivando a função f ( x ) e aplicando a condição que f ' 1 = - 11

f x = a x + b x 2 = a x - 1 + b x - 2

Agora aplicar a regra de derivada de potência:

f ' x = - a x - 2 - 2 b x - 3

E por fim aplicar no ponto x = 1 :

f ' 1 = - a 1 - 2 - 2 b 1 - 3

f ' 1 = - a 1 2 - 2 b 1 3 = - a - 2 b

E temos que f ' 1 = - 11 , então agora temos nossa primeira equação com a e b :

- a - 2 b = - 11

Podemos isolar a , para ficar ainda mais fácil:

a = 11 - 2 b

Beleza?

Agora a ideia é repetir esse passo para a função g ( x ) !

Passo 3

A função g ( x ) é um pouco mais complicadinha:

g x = a   s e n 5 x + b x e - x + 6 ln ⁡ ( x + 1 )

No termo do seno e do logaritmo precisamos aplicar a regra da cadeia, pois ambos os argumentos dessas funções são outras funções. Já para o termo com a exponencial, vamos aplicar a regra do produto, já que se trata do produto de duas funções x   e   e - x .

g ( x ) é

g ' x = 5 a cos ⁡ ( 5 x ) + b e - x - x e - e + 6 x + 1

E aplicando a condição g ' 0 = 25

Temos

g ' 0 = 5 a cos ⁡ 0 + b e 0 - 0 e 0 + 6 0 + 1

g ' 0 = 5 a + b + 6 = 25

5 a + b = 19

Tranquilo?

a e b !

Passo 4

Passo 5

Agora vamos juntar as duas equações para montar nosso sistema:

1 : a = 11 - 2 b 2 : 5 a + b = 19  

Agora precisamos resolver esse sistema!

Vamos pegar (1) em que o ‘a’ já está isolado e substituir em (2):

5 11 - 2 b + b = 19

Aí temos

55 - 10 b + b = 19

- 9 b = 19 - 55

- 9 b = - 36

b = 4

E com o valor de ‘b’ na mão, podemos usar a equação (1) e achar o ‘a’:

a = 11 - 2 4 = 11 - 8 = 3

a = 3

Sendo assim, os valores das incógnitas a e b são:

a = 3

b = 4

E é essa nossa resposta!

Espero ter ajudado! Até a próxima!

Resposta

a = 3

b = 4

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