Sejam g diferenciável e f x = x g x 2

  1. Mostre que f ' x = g x 2 + 2 x 2 g ' x 2 ;

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou traduzir ela para você! Vamos lá?

“Sejam g diferenciável”

Até aqui tudo bem, só está comentando que podemos derivar essa tal função g !

“e f x = x g x 2

Aqui começa: temos uma função f que é definida em termos dessa outra função g que ele falou! Notem que a g é uma função composta!

Isso mesmo, composta! Isso porque ao invés de termos apenas um x ali dentro de g , temos uma outra função! O x 2 ! Tranquilo até aqui? Vamos seguindo?

Agora nesse primeiro item o problema pede:

“Mostre que f ' x = g x 2 + 2 x 2 g ' x 2 ;

Ah rá! Agora o problema chegou no que queria: mostrar que a derivada de f é dada em termos da g e de sua derivada! Mas como fazer isso? Derivando!

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Precisamos derivar essa coisa:

f x = x g x 2

Logo de cara vemos que tem um produto de funções: o x está multiplicando uma função composta. Então para derivar vamos usar a Regra do Produto

f x = a . b

A derivada de f é:

f ' x = a ' b + b ' a

E a derivada daquela função composta? Vamos usar a Regra da Cadeia

b c = b ' c .   c '

É a derivada da função mais externa (no nosso caso g ) mantendo o argumento de dentro, multiplicado pela derivada do argumento de dentro (esse argumento no nosso caso é x 2 )

Beleza?

Assim nossa derivada fica:

f x = x g x 2

f ' x = a ' b + b ' a

Usando a = x ,   a ' = 1 e b = g ( x 2 ) , b ' = g ' x 2 . 2 x temos:

f ' x = 1 . g x 2 + g ' x 2 . 2 x . ( x )

Beleza? Vamos guardar esse resultado!

Passo 3

Estamos quase lá! Agora nossa missão é simplificar ao máximo e comparar com o resultado que o problema pediu para mostrar:

f ' x = 1 . g x 2 + g ' x 2 . 2 x . ( x )

f ' x = g x 2 + 2 x 2 g ' ( x 2 )

E comparando com o que foi pedido:

É isso aí! Mostramos!

Ufa! Terminamos! Espero ter ajudado!

Até próxima!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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