C2) Sejam f a função cujo gráfico está abaixo.

Determine g ' ( - 2 ) , em que g x = x 2 + f x 5 .

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Esse enunciado nos pede para encontrarmos g ' ( - 2 ) . Mas o que isso significa?

g ' - 2 é a derivada da função g no ponto em que x = - 2 . Ou seja, o que devemos fazer é derivar g ' ( x ) e aplicarmos, quando necessário, o valor de x = - 2 .

Vamos, então, avaliar g ( x ) . Perceba que dentro de g ( x ) temos f x aparecendo e precisamos descobri-lo para continuarmos os cálculos.

Para definirmos f ( x ) , precisamos observar o gráfico e considerar o seguinte: como precisamos encontrar a derivada no ponto x = - 2 , precisamos definir a reta que passa por x = - 2 . Essa reta nada mais é que f ( x ) .

Observando a reta, podemos definir dois pontos. Um ponto é ( - 2 ,   - 3 ) e o outro é ( 0 ,   1 ) . Como conhecemos dois pontos da reta, podemos utilizar a equação geral da reta para defini-la:

A equação geral da reta é:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Vamos inserir os pontos que encontramos:

1 - - 3 = m ( 0 - - 2 )

4 = m ( 2 )

m = 2

m é o valor do coeficiente angular da reta. É o valor que acompanha x em:

y = m x + b

Agora precisamos definir b . Como temos m e um ponto da reta:

1 = 2 * 0 + b

b = 1

Portanto, a reta é:

f x = 2 x + 1

Passo 2

Precisamos, agora, aplicar f ( x ) em g ( x ) :

g x = x 2 + 2 x + 1 5

Então calcularemos a derivada e esse é um caso clássico da regra da cadeia. Ok, mas quando usamos a regra da cadeia?

A regra da cadeia será utilizada sempre que tivermos uma função composta, que nada mais é do que uma função dentro de outra, ou seja um “aninhamento” de funções. Matematicamente, uma função composta é h ( j x ) , onde h = x 5 e j = x 2 + 2 x + 1 , e sua derivada é: h ' j x * j ' ( x ) .

Para o nosso caso:

5 * x 2 + 2 x + 1 5 - 1 * ( 2 x + 2 )

5 x 2 + 2 x + 1 4 ( 2 x + 2 )

Como queremos encontrar a derivada no ponto x = - 2 , vamos substituir x :

5 - 2 2 + 2 * - 2 + 1 4 [ 2 - 2 + 2 ]

5 4 - 4 + 1 4 - 4 + 2

5 1 4 - 2

5 * 1 * - 2 = - 10

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

g ' - 2 = - 10

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