Um silo tem a forma de uma pirâmide de base quadrada invertida, com uma altura de 5 m e diagonal da base de 2 m. O tanque se esvazia de um líquido não viscoso à taxa de 2 d m 3 / m i n . Com que velocidade se encontra o nível de líquido quando a altura dele estiver a 1 m do fim?

Passo 1

Faaaala pessoal! Vamos extrair as informações necessárias para obter o volume do sólido e fazer a relação para obter o volume de líquido preenchido.

O quadrado A B C D é a base da pirâmide de diagonal D = 2 . De Δ A B C , temos:

D 2 = L 2 + L 2 ⇒ L = D 2 = 2 2 ⇒ L = 2

Passo 2

Agora, temos de extrair uma relação entre l e h , a fim de parametrizar o volume do líquido. O triângulo Δ E G H é uma seção transversal da pirâmide e está demarcado na representação da base. Da semelhança Δ E M L ~ Δ E G H , temos:

H L = h l ⇒ 5 2 = h l ⇒ l = h 2 5

Assim, o volume do líquido preenchido (pirâmide de base quadrada) é dado por:

V = 1 3 A b h = 1 3 l 2 h

⇒ V = 1 3 ⋅ 2 h 2 25 h  

⇒ V = 2 h 3 75  

Passo 3

Pensando na variação do volume no tempo, temos pela Regra da Cadeia:

d V d t = d V d h ⋅ d h d t

= d d h 2 h 3 75 ⋅ d h d t

= 2 h 2 25 ⋅ d h d t

O líquido escorre a vazão constante 2 d m 3 / m i n , da expressão acima quando h = 1   m = 10   d m , temos que:

d V d t = - 2 d m 3 m i n = 2 ⋅ 10   d m 2 25 ⋅ d h d t

⇒ d h d t = - 0,25   d m / m i n

Resposta

Assim, o nível do líquido desce ( - ) com velocidade 0,25   d m / m i n .

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