Suponha que exista a função f :   R 2 → R tal que para todo x , y vale a seguinte relação:

- 2 y ∂ f ∂ x x , y + x 2 ∂ f ∂ y x , y = 0

Calcule g ' ( t ) , sendo g t = f 2 cos ⁡ t , sin ⁡ t . Conclua que f é constante sobre a elipse x 2 4 + y 2 = 1 .

Passo 1

Eaeeee, belezinha??? Seguinte... vamos primeiro fazer x t = 2 cos ⁡ t e y t = sin ⁡ t .

Depois vamos aplicar a regra da cadeia e analisar se g é constante e sua relação com f na elipse!!

Passo 2

Pela regra da cadeia, temos:

g ' t = ∂ f ∂ x x t , y t d x t d t + ∂ f ∂ y x t , y t d y t d t ∴

g ' t = ∂ f ∂ x x t , y t - 2 sin ⁡ t + ∂ f ∂ y x t , y t cos ⁡ t ∴

g ' t = - 2 y t ∂ f ∂ x x t , y t + x t 2 ∂ f ∂ y x t , y t ∴

g ' t = 0

Passo 3

Pelo que podemos analisar, g é uma função constante pois sua derivada existe.

Por outro lado, x t ,   y ( t ) = 2 cos ⁡ t , sin ⁡ t é uma parametrização da elipse dada e g é a restrição de f à tal elipse.

Assim, f é constante na elipse dada.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

g ' t = 0

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