9 - Suponha que a temperatura em um ponto x , y de uma placa de metal seja T x , y = 4 x 2 - 4 x y + y 2 . Uma formiga, andando sobre a placa, percorre um círculo de raio 5 centrado na origem. Qual é a maior e a menor temperaturas encontradas pela formiga?

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão, temos uma formiguinha sob uma placa de metal, nessa placa, sua temperatura é descrita pela função T x , y . Essa formiguinha começa a andar sob a placa formando uma circunferência de raio 5 com centro na origem de x , y .

Com isso, queremos saber qual é a maior e qual a menor temperatura que a formiguinha vai enfrentar em sua caminhada.

Mas vamos apenas derivar a função T e igualar a 0 ?

Sim e não!

Antes que derivarmos, temos que substituir as condições que temos no problema. No caso a condição é que queremos apenas os valores do espaço que nossa formiguinha vai andar, ou seja, a circunferência de raio 5 .

Lembra da equação da circunferência?

x 2 + y 2 = R a i o 2

Logo, no nosso caso.

x 2 + y 2 = 5 2 = 25

Vamos começar nossos cálculos?

Passo 2

Vamos isolar y em um lado da equação da circunferência e substituir em T .

y 2 = 25 - x 2 → y = 25 - x 2

Em T , vamos ter

T x = 4 x 2 - 4 x 25 - x 2 + 25 - x 2

T x = 3 x 2 - 4 x 25 - x 2 + 25

Derivando esse resultado, vamos encontrar os possíveis valores para x .

d T d x = d 3 x 2 - 4 x 25 - x 2 + 25 d x

Sabemos que a derivada de uma soma é iguala a soma das derivadas, logo

d T d x = d 3 x 2 d x - d 4 x 25 - x 2 d x + d 25 d x

Vamos calcular a derivada de 3 x 2 . Por derivada de polinômios, multiplicamos a variável pela potência e subtraímos 1 do expoente.

d 3 x 2 d x = 2 · 3 x 2 - 1 = 6 x

A derivada de 4 x 25 - x 2 é obtida através de uma mistura entre a regra do produto e a regra da cadeia. Perceba que 4 x é uma função que vamos chamar de g x e 25 - x 2 é outra função que vamos chamar de h x , como temos g x · h x , sua derivada é dada pela regra do produto

g x · h x ' = g ' x · h x + g x · h ' x

Com isso temos

d 4 x 25 - x 2 d x = d 4 x d x · 25 - x 2 + 4 x · d 25 - x 2 d x

Está entendendo? 👀👀

Passo 3

Mas perceba que na derivada de 25 - x 2 temos que aplicar a regra da cadeia já que temos uma função composta

h x = p q x ,     h ' x = q ' x · p ' q x ,     q x → u

na derivada p ' q x temos que substituir q x por uma variável qualquer.

d 25 - x 2 d x = d 25 - x 2 d x · d u d u

Substituindo esse resultado na derivada de 4 x 25 - x 2

d 4 x 25 - x 2 d x = d 4 x d x · 25 - x 2 + 4 x · d 25 - x 2 d x · d u d u

Por derivada de polinômios as derivadas de 4 x , 25 - x 2 e u , vão ser

d 4 x d x = 1 · 4 x 1 - 1 = 4

d 25 - x 2 d x = 0 · 25 - 2 · x 2 - 1 = - 2 x

d u d u = d u 1 2 d u = 1 2 · u 1 2 - 1 = 1 2 u 1 2

Substituindo esses resultados, na derivada de 4 x 25 - x 2

d 4 x 25 - x 2 d x = 4 · 25 - x 2 + 4 x · - 2 x · 1 2 u 1 2

Não podemos deixar o resultado em função de u , então não podemos esquecer substitui-lo por q x .

d 4 x 25 - x 2 d x = 4 25 - x 2 - 8 x 2 1 2 25 - x 2

Para finalizar a derivada de T , temos que derivar 25 , mas como sabemos, a derivada de uma constante é 0 .

Passo 4

Substituindo os resultados em T ' , temos

d T d x = 6 x - 4 25 - x 2 - 8 x 2 1 2 25 - x 2 + 0

Simplificando essa equação, temos

d T d x = 6 x - 4 25 - x 2 2 25 - x 2 - 4 x 2 1 25 - x 2

Veja que apenas multiplicamos o numerador e o denominador de 4 25 - x 2 por 25 - x 2 para deixar todos com o mesmo denominador.

d T d x = 6 x - 4 25 - x 2 25 - x 2 - 4 x 2 25 - x 2

d T d x = 6 x - 4 25 - x 2 - 4 x 2 25 - x 2

d T d x = 6 x - 4 25 - 2 x 2 25 - x 2

Vamos igualar esse resultado a 0 e obter os valores para x em que a equação é satisfeita.

6 x - 4 25 - 2 x 2 25 - x 2 = 0

4 25 - 2 x 2 25 - x 2 = 6 x

4 25 - 2 x 2 = 6 x 25 - x 2

Vamos elevar os dois lados ao quadrado para remover a raiz

4 25 - 2 x 2 2 = 6 x 25 - x 2 2

16 25 - 2 x 2 2 = 36 x 2 25 - x 2

Organizando o resultado, vamos obter

64 x 4 - 1600 x 2 + 1000 0 = - 36 x 4 + 900 x 2

100 x 4 - 25 00 x 2 = - 10000

x 4 - 25 x 2 = - 100

Com isso, encontramos os valores de x , onde

x = ± 5 x = ± 2 5

Interessante, não é?

Passo 5

Agora vamos descobrir os valores para y substituindo os valores de x na equação da circunferência.

Para x = ± 5

5 2 + y 2 = 25

y 2 = 20

y = ± 2 5

Para x = ± 2 5

2 5 2 + y 2 = 25

y 2 = 5

y = ± 5

Com isso, os pontos que vamos observar, vão ser os pontos P 1 = 5 , 2 5 , P 2 = - 5 , 2 5 , P 3 = 5 , - 2 5 , P 4 = - 5 , - 2 5 , P 5 = 2 5 , 5 , P 6 = - 2 5 , 5 , P 7 = 2 5 , - 5 e P 8 = - 2 5 , - 5 .

Haja ponto, não é?

Vamos substituí-los em T e observar qual apresenta o maior valor e qual apresenta o menor valor.

T x , y = 4 x 2 - 4 x y + y 2

Para o ponto P 1 :

T 5 , 2 5 = 4 5 2 - 4 5 2 5 + 2 5 2

T 5 , 2 5 = 0

Para o ponto P 2 :

T - 5 , 2 5 = 4 - 5 2 - 4 - 5 2 5 + 2 5 2

T - 5 , 2 5 = 80

Para o ponto P 3 :

T 5 , - 2 5 = 4 5 2 - 4 5 - 2 5 + - 2 5 2

T 5 , - 2 5 = 80

Para o ponto P 4 :

T - 5 , - 2 5 = 4 - 5 2 - 4 - 5 - 2 5 + - 2 5 2

T - 5 , - 2 5 = 0

Obtemos a metade das temperaturas, vamos continuar.

Passo 6

Para o ponto P 5 :

T 2 5 , 5 = 4 2 5 2 - 4 2 5 5 + 5 2

T 2 5 , 5 = 45

Para o ponto P 6 :

T - 2 5 , 5 = 4 - 2 5 2 - 4 - 2 5 5 + 5 2

T - 2 5 , 5 = 125

Para o ponto P 7 :

T 2 5 , - 5 = 4 2 5 2 - 4 2 5 - 5 + - 5 2

T 2 5 , - 5 = 125

Por fim, para o ponto P 8 :

T - 2 5 , - 5 = 4 - 2 5 2 - 4 - 2 5 - 5 + - 5 2

T - 2 5 , - 5 = 45

Observando os resultados, os pontos mais quentes foram P 6 = - 2 5 , 5 e P 7 = 2 5 , - 5 onde obtemos 125 ° . Já os pontos mais frios, foram os pontos P 1 = 5 , 2 5 e P 4 = - 5 , - 2 5 , onde obtemos 0 ° .

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Pontos mais quentes - 2 5 , 5 e 2 5 , - 5 com temperatura de 125 .

Pontos mais frios 5 , 2 5 e - 5 , - 2 5 com temperatura de 0 .

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