Use a regra da cadeia para provar que (a) a derivada de uma função par é uma função ímpar e (b) a derivada de uma função ímpar é uma função par, desde que essas derivadas existam.

Passo 1

A questão pede para provarmos que a derivada de uma função par é uma função ímpar e vice-versa, usando a regra da cadeia. Para isso, vamos relembrar as definições de funções par e ímpar.

Uma função é par se f x = f ( - x ) , enquanto uma função é ímpar se f x = - f ( - x ) . Basta aplicar a regra da cadeia nessas relações que resolvemos o problema!

Passo 2

Para o item (a), vamos aplicar a regra da cadeia na relação da função par:

f x = f - x ⇒ f ' x = f ' - x ⋅ ( - x ) '

Como - x ' = - 1 , temos que

f ' x = - f ' ( - x )

Essa é exatamente a relação que uma função ímpar deve satisfazer: f ' é uma função ímpar!

Passo 3

Agora para o item (b), vamos proceder da mesma forma do item (a) mas partido da hipótese de que f seja ímpar:

f x = - f - x ⇒ f ' x = - f ' - x ⋅ - x '

Portanto,

f ' x = f ' ( - x )

que é precisamente a relação que uma função par satisfaz. Vemos então que f ' é par. Note que nos dois casos, a mudança de paridade acontece devido ao termo - x ' = - 1 na regra da cadeia que muda o sinal das relações.

Resposta

Demonstração.

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Encontre a derivada da função.y = (r)/(sqrt(r^2 + 1))
Encontre a derivada da função.y = ((x^2 + 1)/(x^2 - 1))^3
Encontre a derivada da função.(d)/(d x) 2^(sen ( pi x ))
Encontre a derivada da função.G (y) = ((y - 1)^4)/((y^2 + 2 y)^5)
Encontre a primeira e a segunda derivadas da função. y = e α x sen ⁡ β x