Utilizando as regras de derivação, calcule a derivada das seguintes funções:

c) h ( x ) = x 3 + 2 x x 2 + 4

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função h ( x ) = x 3 + 2 x x 2 + 4 usando as regras de derivação.

Para calcular a derivada da função h ( x ) , vamos aplicar a regra do quociente, que diz que a derivada de uma função f ( x ) g ( x ) em relação a x é dada por:

d d x f ( x ) g ( x ) = f ' ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ' ( x ) ( g ( x ) ) 2

Passo 2

Vamos calcular as derivadas das funções f ( x ) = x 3 + 2 x e g ( x ) = x 2 + 4 :

  1. Derivada de f ( x ) = x 3 + 2 x :A derivada de f ( x ) em relação a x é f ' ( x ) = 3 x 2 + 2 .
  2. Derivada de g ( x ) = x 2 + 4 :A derivada de g ( x ) em relação a x é g ' ( x ) = 2 x .

A g o r a ,   a p l i c a n d o   a   r e g r a   d o   q u o c i e n t e ,   t e m o s :

d d x x 3 + 2 x x 2 + 4 = 3 x 2 + 2 x 2 + 4 - x 3 + 2 x ( 2 x ) x 2 + 4 2

Passo 3

S i m p l i f i c a n d o   a   e x p r e s s ã o :

d d x x 3 + 2 x x 2 + 4 = 3 x 4 + 12 x 2 + 2 x 2 + 8 - 2 x 4 x 2 + 4 2   = x 4 + 14 x 2 + 8 x 2 + 4 2  

P o r t a n t o ,   a   d e r i v a d a   d a   f u n ç ã o   h ( x ) = x 3 + 2 x x 2 + 4   e m   r e l a ç ã o   a   x   é   h ' ( x ) = x 4 + 14 x 2 + 8 x 2 + 4 2 .

Resposta

a   d e r i v a d a   d a   f u n ç ã o   h ( x ) = x 3 + 2 x x 2 + 4   e m   r e l a ç ã o   a   x   é   h ' ( x ) = x 4 + 14 x 2 + 8 x 2 + 4 2 .

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