Em várias situações precisamos encontrar uma forma de calcular a derivada da função composta a partir das derivadas das funções componentes, assim podemos aplicar a regra da cadeia: Sejam y = h ( u ) e u = g ( x ) duas funções deriváveis, com I m ( g ) ⊂ D o m ( h ) e consideremos a função composta y = f x = h [ g x ] . Então f é derivável e f ' x = h ' g x . g ' ( x ) , para todo x ∈ D o m   g .

Aplicando então a regra da cadeia calcule a derivada de f x = e sen ⁡ ( x ) + sen ⁡ ( e x )

Passo 1

Temos que aplicar a regra da cadeia para calcular a derivada da seguinte função:

f x = e sen ⁡ x + sen ⁡ ( e x )

f ' x = d d x e sen ⁡ x + d d x sen ⁡ e x

Nas duas derivadas precisamos aplicar a regra da cadeia, então vamos fazer uma de cada vez.

Passo 2

Começando. Para aplicar a regra da cadeia vamos chamar u = sen ⁡ ( x )

d d x e u = d f d u d u d x

d d x e u = d d u e u d d x sen ⁡ x = e u c o s ⁡ ( x )

E agora substituindo o u de volta:

d d x e u = e sen ⁡ x c o s ⁡ ( x )

Passo 3

E fazendo um procedimento parecido para a outra derivada. Dessa vez vamos chamar u = e x :

d d x sen ⁡ e x = d d x sen ⁡ u = d d u ( sen ⁡ u ) d d x ( e x )

d d x sen ⁡ e x = cos ⁡ u e x = c o s ⁡ ( e x ) ( e x )

Pronto, agora é só substituir de volta na fórmula lá de cima:

f ' x = d d x e sen ⁡ x + d d x sen ⁡ e x

f ' x = e sen ⁡ x cos ⁡ x + e x   c o s ⁡ ( e x )

Agora sim, resolvido!

Resposta

A derivada da função é f ' x = e sen ⁡ x cos ⁡ x + e x   c o s ⁡ ( e x ) .

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