C6. Já vimos que a função |x| não é diferençável em x = 0, mas que a derivada existe em todos os outros pontos (igual a −1 se x é negativo e 1 se x é positivo). Nesse exercício vamos usar um artifício para trabalhar com a derivada de funções com m´ondulo sem ter que separar em partes.

a) Verifique que x = x 2 para todo x ϵ R .

b) Pelo item (a), a função h(x) = |x| é a composição das funções f ( x )   =   x     e   g ( x )   =   x 2 . Use isso e a regra da cadeia para encontrar h   '   ( x ) . Verifique que sua resposta está de acordo com o esperado.

c)Utilize a formula descoberta no item anterior e a regra da cadeia para calculara a derivada de f x = 3 x - 1 e x

Passo 1

Fala turma, bora resolver a questão?! Primeiro precisamos verificar que x = x 2 para todo x pertencentes aos reais (isso isenta os números imaginários “i”). Verificamos isso da seguinte forma:

Sendo n ϵ R , se n > 0 :

n 2 = n

Se n < 0 :

n 2 = n

Uma vez que a função f x = x assume apenas valores positivos por positivos por definição.

Passo 2

Verificando a nossa resposta, testamos:

h x = x = x 2 = f ( g x )

h ' x = f ' g x ⋅ g ' ( x )

Essa é a formula pra derivada por regra da cadeia. Temos então que:

f ' g x = f ' u = u '

f ' g x = 1 2 u - 1 / 2 → 1 2 u

Mas, quem é f ' ( x ) ? Vocês lembram?

f ' x = x 2 ' = 2 x

Logo,

h ' x = 1 2 x 2 ⋅ 2 x = x x 2

Por fim,

h ' x = x x

Passo 3

Aqui agora vamos calcular essa derivada que ele nos desafia, com o método que aprendemos nos passos 1 e 2. Temos, portanto, que:

f x = 3 x - 1 e x

Olhando de uma nova vista, temos:

f x = f 1 x ⋅ f 2 ( x )

Para a nossa função f ( x ) ser derivada, significa que f 1 e f 2 vão ficar:

f ' x = f 1 ' x ⋅ f 2 x + f 1 x ⋅ f 2 ' ( x )

Agora é só a gente substituir tudo e temos a resposta!

f ' x = 3 ⋅ 3 x - 1 3 x - 1 ⋅ e x + 3 x - 1 ⋅ e x

Resposta

c ) f ' x = 3 ⋅ 3 x - 1 3 x - 1 ⋅ e x + 3 x - 1 ⋅ e x

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