Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

UFRJ, Cálculo 4, P1 - 2019.1, Questão 2b

Considere a equação diferencial:

x - π 2 y ' ' + c o s   x   y ' + x - π 2 ² y = 0

Se n = 0 a n x - π 2 n é uma solução da equação, determine as equações lineares que relacionam os primeiros coeficientes a 0 ,   a 1 , a 2 e a 3 .

Passo 1

Reescrevendo y ( x ) em uma série:

y x   = n = 0 a n x - π 2 n

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos derivar a nossa série para substituirmos nossa equação diferencial:

y x   = n = 0 a n x - π 2 n

y ' x   = n = 1 a n   n x - π 2 n - 1 = n = 0 a n + 1 ( n + 1 ) x - π 2 n

y ' ' x   = n = 2 a n   n n - 1 x - π 2 n - 2 = n = 2 a n + 2 ( n + 2 ) n + 1 x - π 2 n

Passo 3

Agora vamos substituir na equação:

y ' ' - n = 0 - 1 n 2 n - 1 ! x - π 2 2 n y ' + x - π 2 y = 0

n = 2 a n + 2 n + 2 n + 1 x - π 2 n - n = 0 - 1 n 2 n - 1 ! x - π 2 2 n n = 0 a n + 1 n + 1 x - π 2 n + x - π 2 n = 1 a n x - π 2 n = 0

n = 2 a n + 2 n + 2 n + 1 x - π 2 n - n = 0 - 1 n 2 n - 1 ! x - π 2 2 n n = 0 a n + 1 n + 1 x - π 2 n + n = 1 a n - 1 x - π 2 n = 0

A partir dessa expressão que nós tiramos os termos iniciais da nossa série, temos então:

n = 0

2 a 2 - 1 . a 1 = 0

n = 1

6 a 3 - 1.2 a 2 + a 0 = 0

E a partir de n = 2 nós teremos a 4 , então paramos por aqui. Assim, as equações lineares vão ser:

{   6 a 3 - 2 a 2 + a 0 = 0   2 a 2 - a 1 = 0

Resposta

{   6 a 3 - 2 a 2 + a 0 = 0   2 a 2 - a 1 = 0

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