Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

UNICAMP - (Cálculo 3) - P2 2020.1

Considere o seguinte problema de valor inicial:

y ' ' + x 6   y ' + 7 x 5 y = 0

y 0 = 2

y ' 0 = 3

  • Mostre que x 0 = 0 é um ponto ordinário.
  • Obtenha os 7 primeiros termos não nulos da solução em série em torno do ponto x 0 = 0 .

Passo 1

Falai galera, tudo certinho? Pra começar vamos provar que x 0 = 0 é um ponto ordinário. Como geralmente a gente conversa sobre pontos ordinários em EDO’s com essa cara:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

E temos essa EDO:

y ' ' + x 6   y ' + 7 x 5 y = 0

Pô, então podemos comparar um com o outro e obter:

P x = 1 Q x = x 6   R x = 7 x 5

Show de bola! E galera, basta P x 0 ≠ 0 pra que x 0 seja de fato um ponto ordinário! Como P 0 = 1 é diferente de zero mesmo, então tá na mão, provadíssimo, que x 0 = 0 é um ponto ordinário. Nesse caso, a solução do problema será:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Antes de mais nada, vamos ver a condição de contorno, ok? Ela vai acabar nos ajudando a beça! Veja que, se fizermos x = 0 na EDO, achamos:

y ' ' 0 + 0 6 ∙ y ' 0 + 7 ∙ 0 5 ∙ y 0 = 0

y ' ' 0 = 0

Só que, como y x é uma série de potência, temos que, se:

y x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + …

Suas derivadas serão:

y ' x = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2 + 4 a 4 x 3 + …

y ' ' x = 2 a 2 + 6 a 3 x + 12 a 4 x 2 + …

Portanto temos ai na mão os três primeiros termos da série:

y 0 = a 0 = 2 y ' 0 = a 1 = 3 y ' ' 0 = 2 a 2 = 0

Logo:

a 0 = 2 a 1 = 3 a 2 = 0

Show! A questão pede na verdade os 6 primeiros termos, então falta achar a 3 , a 4 , e t c até termos 6 não nulos.

Passo 3

Belê galera! Um bom começo é ver que se a solução tem aquela cara de série de potências e a EDO tem derivadas primeira e segunda, vamos precisar derivar o somatório! Vamos obter então:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2

E colocando todos eles dentro da EDO, temos:

y ' ' + x 6   y ' + 7 x 5 y = 0

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + x 6   ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + 7 x 5 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Nos dois últimos somatórios eu vou pôr o que ta multiplicando do lado de fora pra dentro, ok? E olha só que bacana que fica:

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 +   ∑ n = 1 ∞ n a n x n + 5 + ∑ n = 0 ∞ 7 a n x n + 5 = 0

Beleeeeza, agora óia só. Tem somatório demais. Bora reduzir isso ai e colocar tudo num somatório só. Podemos deixar os três últimos com a mesma potência do primeiro, isto é, x n . Pro primeiro somatório, substituindo n → n + 2 , ficamos com:

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 → ∑ n + 2 = 2 ∞ n + 2 n + 2 - 1 a n + 2 x n + 2 - 2

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 → ∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n

Para todos os outros somatórios, bora fazer n → n - 5 , de forma a obter:

∑ n = 1 ∞ n a n x n + 5 → ∑ n - 5 = 1 ∞ n - 5 a n - 5 x n - 5 + 5

∑ n = 0 ∞ 7 a n x n + 5 → ∑ n - 5 = 0 ∞ 7 a n - 5 x n - 5 + 5

O que resulta em:

∑ n = 1 ∞ n a n x n + 5 → ∑ n = 6 ∞ n - 5 a n - 5 x n

∑ n = 0 ∞ 7 a n x n + 5 → ∑ n = 5 ∞ 7 a n - 5 x n

Colocando os somatórios substituídos na EDO, achamos:

∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n +   ∑ n = 6 ∞ n - 5 a n - 5 x n + ∑ n = 5 ∞ 7 a n - 5 x n = 0

Show! Agora pra gente terminar de juntar os somatórios falta só colocarmos todos eles começando no mesmo n . Pra isso, abrimos o primeiro somatório para:

∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n = 2 a 2 + 6 a 3 x + 12 a 4 x 2 + 20 a 5 x 3 + 30 a 6 x 4 + 42 a 7 x 5 + ∑ n = 6 ∞ 3 n + 2 n + 1 a n + 2 x n

∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n = 6 a 3 x + 12 a 4 x 2 + 20 a 5 x 3 + 30 a 6 x 4 + 42 a 7 x 5 + ∑ n = 6 ∞ 3 n + 2 n + 1 a n + 2 x n

Abrindo o terceiro somatório:

∑ n = 5 ∞ 7 a n - 5 x n = 7 a 0 x 5 + ∑ n = 6 ∞ 7 a n - 5 x n

∑ n = 5 ∞ 7 a n - 5 x n = 14 x 5 + ∑ n = 6 ∞ 7 a n - 5 x n

Juntando tudo, temos:

6 a 3 x + 12 a 4 x 2 + 20 a 5 x 3 + 30 a 6 x 4 + 42 a 7 x 5 + 14 x 5 + ∑ n = 6 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n +   ∑ n = 6 ∞ n - 5 a n - 5 x n + ∑ n = 6 ∞ 7 a n - 5 x n = 0

6 a 3 x + 12 a 4 x 2 + 20 a 5 x 3 + 30 a 6 x 4 + 42 a 7 + 14 x 5 + ∑ n = 6 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 + n - 5 + 7 a n - 5 x n = 0

O que gera o seguinte sisteminha:

6 a 3 x + 12 a 4 x 2 + 20 a 5 x 3 + 30 a 6 x 4 + 42 a 7 + 14 x 5 = 0 n + 2 n + 1 a n + 2 + n + 2 a n - 5 = 0

Passo 4

Show galera, agora vamos trabalhar com aquele sisteminha. Veja que em:

6 a 3 x + 12 a 4 x 2 + 20 a 5 x 3 + 30 a 6 x 4 + 42 a 7 + 14 x 5 = 0

Se usarmos x = 0 , de fato, temos uma solução pra essa equação. Mas sendo ela uma solução trivial, vamos ver em que outros casos a equação é válida. Oras! Se as constantes multiplicando x , x 2 , etc. forem nulas, tá valendo! Partiu:

6 a 3 = 0 12 a 4 = 0 20 a 5 = 0 30 a 6 = 0 42 a 7 + 14 = 0

O que resulta em:

a 3 = 0 a 4 = 0 a 5 = 0 a 6 = 0 a 7 = - 14 42 = - 1 3

Agora pra relação de recorrência mesmo, temos:

n + 2 n + 1 a n + 2 + n + 2 a n - 5 = 0

n + 2 n + 1 a n + 2 = - n + 2 a n - 5

a n + 2 = - n + 2 a n - 5 n + 2 n + 1

Dividindo em cima e em baixo por n + 2 , simplificamos um pouco. Temos nossa linda e amada relação de recorrência:

a n + 2 = - a n - 5 n + 1

Como já temos a 0 , a 1 , a 7 não nulos e a questão quer os 6 primeiros termos não nulos, vamos partir de n = 6 na lei de recorrência acima até acharmos só mais 3 valores não nulos, ok?

a 8 = - a 1 7 = - 3 7

a 9 = - a 2 8 = 0

a 10 = - a 3 9 = 0

a 11 = - a 4 1 0 = 0

a 12 = - a 5 1 1 = 0

a 13 = - a 6 12 = 0

a 14 = - a 7 13 = - - 1 3 13 = 1 39

a 15 = - a 8 14 = - - 3 7 14 = 3 98

E ta na mão! Alguns acabaram zerando mas mesmo assim deu pra gente fechar a questão! Os 7 primeiros não nulos são:

a 0 = 2 a 1 = 3 a 7 = - 1 3 a 8 = - 3 7 a 14 = 1 39 a 15 = 3 98

Resposta

Passo 1 prova que x 0 = 0 é um ponto ordinário e os sete primeiros termos não nulos são:

a 0 = 2 a 1 = 3 a 7 = - 1 3 a 8 = - 3 7 a 14 = 1 39 a 15 = 3 98

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