Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

UNICAMP - (Cálculo 3) - P2 2020.1

Considere o seguinte problema de valor inicial:

1 - 2 x 3 y ' ' + 6 x 2   y ' + 24 x y = 0

y 0 = 1

y ' 0 = 1

  • Mostre que x 0 = 0 é um ponto ordinário.
  • Obtenha os 7 primeiros termos não nulos da solução em série em torno do ponto x 0 = 0 .

Passo 1

Falai galera, tudo certinho? Pra começar vamos provar que x 0 = 0 é um ponto ordinário. Como geralmente a gente conversa sobre pontos ordinários em EDO’s com essa cara:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

E temos essa EDO:

1 - 2 x 3 y ' ' + 6 x 2     y ' + 24 x y = 0

Pô, então podemos comparar um com o outro e obter:

P x = 1 - 2 x 3 Q x = 6 x 2   R x = 24 x

Show de bola! E galera, basta P x 0 ≠ 0 pra que x 0 seja de fato um ponto ordinário! Como P 0 = 1 é diferente de zero mesmo, então tá na mão, provadíssimo, que x 0 = 0 é um ponto ordinário. Nesse caso, a solução do problema será:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Antes de mais nada, vamos ver a condição de contorno, ok? Ela vai acabar nos ajudando a beça! Veja que, se fizermos x = 0 na EDO, achamos:

1 - 2 ∙ 0 3 ∙ y ' ' 0 + 6 ∙ 0 2 ∙ y ' 0 + 24 ∙ 0 ∙ y 0 = 0

y ' ' 0 = 0

Só que, como y x é uma série de potência, temos que, se:

y x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + …

Suas derivadas serão:

y ' x = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2 + 4 a 4 x 3 + …

y ' ' x = 2 a 2 + 6 a 3 x + 12 a 4 x 2 + …

Portanto temos ai na mão os três primeiros termos da série:

y 0 = a 0 = 1 y ' 0 = a 1 = 1 y ' ' 0 = 2 a 2 = 0

Logo:

a 0 = 1 a 1 = 1 a 2 = 0

Show! A questão pede na verdade os 7 primeiros termos, então falta achar a 3 , a 4 , e t c até termos 7 não nulos.

Passo 3

Show galera! Um bom começo é ver que se a solução tem aquela cara de série de potências e a EDO tem derivadas primeira e segunda, vamos precisar derivar o somatório! Vamos obter então:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2

E colocando todos eles dentro da EDO, temos:

1 - 2 x 3 y ' ' + 6 x 2     y ' + 24 x y = 0

1 - 2 x 3 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + 6 x 2 ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + 24 x ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Nos dois últimos somatórios eu vou pôr o que ta multiplicando do lado de fora pra dentro, ok? No primeiro vou fazer isso também, mas vou primeiro aplicar a distributiva. Obteremos:

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 - 2 x 3 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 1 ∞ 6 n a n x n + 1 + ∑ n = 0 ∞ 24 a n x n + 1 = 0

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 - ∑ n = 2 ∞ 2 n n - 1 a n x n + 1 + ∑ n = 1 ∞ 6 n a n x n + 1 + ∑ n = 0 ∞ 24 a n x n + 1 = 0

Beleeeeza, agora óia só. Tem somatório demais. Bora reduzir isso ai e colocar tudo num somatório só. Podemos deixar os três últimos com a mesma potência do primeiro, isto é, x n . Pro primeiro somatório, substituindo n → n + 2 , ficamos com:

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 → ∑ n + 2 = 2 ∞ n + 2 n + 2 - 1 a n + 2 x n + 2 - 2

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 → ∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n

Para todos os outros somatórios, bora fazer n → n - 1 , de forma a obter:

∑ n = 2 ∞ 2 n n - 1 a n x n + 1 → ∑ n - 1 = 2 ∞ 2 n - 1 n - 1 - 1 a n - 1 x n - 1 + 1

∑ n = 1 ∞ 6 n a n x n + 1 → ∑ n - 1 = 1 ∞ 6 n - 1 a n - 1 x n - 1 + 1

∑ n = 0 ∞ 24 a n x n + 1 → ∑ n - 1 = 0 ∞ 24 a n - 1 x n - 1 + 1

O que resulta em:

∑ n = 2 ∞ 2 n n - 1 a n x n + 1 → ∑ n = 3 ∞ 2 n - 1 n - 2 a n - 1 x n

∑ n = 1 ∞ 6 n a n x n + 1 → ∑ n = 2 ∞ 6 n - 1 a n - 1 x n

∑ n = 0 ∞ 24 a n x n + 1 → ∑ n = 1 ∞ 24 a n - 1 x n

Colocando os somatórios substituídos na EDO, achamos:

∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n - ∑ n = 3 ∞ 2 n - 1 n - 2 a n - 1 x n + ∑ n = 2 ∞ 6 n - 1 a n - 1 x n + ∑ n = 1 ∞ 24 a n - 1 x n = 0

Show! Agora pra gente terminar de juntar os somatórios falta só colocarmos todos eles começando no mesmo n . Pra isso, abrimos o primeiro somatório para:

∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n = 2 a 2 + 6 a 3 x + 12 a 4 x 2 + ∑ n = 3 ∞ 3 n + 2 n + 1 a n + 2 x n

∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n = 6 a 3 x + 12 a 4 x 2 + ∑ n = 3 ∞ 3 n + 2 n + 1 a n + 2 x n

Abrindo o terceiro somatório:

∑ n = 2 ∞ 6 n - 1 a n - 1 x n = 6 a 1 x + ∑ n = 3 ∞ 6 n - 1 a n - 1 x n

∑ n = 2 ∞ 6 n - 1 a n - 1 x n = 6 x + ∑ n = 3 ∞ 6 n - 1 a n - 1 x n

E abrindo o último, temos:

∑ n = 1 ∞ 24 a n - 1 x n = 24 a 0 x + 24 a 1 x 2 + ∑ n = 3 ∞ 24 a n - 1 x n

∑ n = 1 ∞ 24 a n - 1 x n = 24 x + 24 x 2 + ∑ n = 3 ∞ 24 a n - 1 x n

Juntando tudo, temos:

24 x + 24 x 2 + 6 x + 6 a 3 x + 12 a 4 x 2 + ∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n - ∑ n = 3 ∞ 2 n - 1 n - 2 a n - 1 x n + ∑ n = 2 ∞ 6 n - 1 a n - 1 x n + ∑ n = 1 ∞ 24 a n - 1 x n = 0

30 + 6 a 3 x + 24 + 12 a 4 x 2 + ∑ n = 2 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 + - 2 n - 1 n - 2 + 6 n - 1 + 24 a n - 1 x n = 0

O que gera o seguinte sisteminha:

30 + 6 a 3 x + 24 + 12 a 4 x 2 = 0 n + 2 n + 1 a n + 2 + - 2 n 2 + 12 n + 14 a n - 1 = 0

Passo 4

Show galera, agora vamos trabalhar com aquele sisteminha. Veja que em:

30 + 6 a 3 x + 24 + 12 a 4 x 2 = 0

Se usarmos x = 0 , de fato, temos uma solução pra essa equação. Mas sendo ela uma solução trivial, vamos ver em que outros casos a equação é válida. Oras! Se as constantes multiplicando x e x 2 forem, tá valendo! Partiu:

30 + 6 a 3 = 0 24 + 12 a 4 = 0

O que resulta em:

a 3 = - 5 a 4 = - 2

Agora pra relação de recorrência mesmo, temos:

n + 2 n + 1 a n + 2 + - 2 n 2 + 12 n + 14 a n - 1 = 0

n + 2 n + 1 a n + 2 - 2 n - 7 n + 1 a n - 1 = 0

n + 2 n + 1 a n + 2 = 2 n - 7 n + 1 a n - 1

Dividindo dos dois lados por n + 1 , simplificamos um pouco. Depois disso, basta passar n + 2 pra direita dividindo e temos nossa linda e amada relação de recorrência

a n + 2 = 2 n - 7 a n - 1 n + 2

Agora vem comigo. Tínhamos a 2 = 0 , certo? E já achamos a 0 , a 1 , a 3 , a 4 não nulos. Como a questão pede os 7 primeiros não nulos, falta achar 3 deles! Fazemos então, pra n = 3,4 , 5,6 , 7,8 :

a 5 = 2 3 - 7 a 2 3 + 2 = 0

a 6 = 2 4 - 7 a 3 4 + 2 = 2 ∙ - 3 ∙ - 5 6 = 5

a 7 = 2 5 - 7 a 4 5 + 2 = 2 ∙ - 2 ∙ - 2 7 = 8 7

a 8 = 2 6 - 7 a 5 6 + 2 = 0

a 9 = 2 7 - 7 a 6 7 + 2 = 0

a 10 = 2 8 - 7 a 7 8 + 2 = 2 ∙ - 1 ∙ 8 7 10 = - 8 35

E ta na mão! Alguns acabaram zerando mas mesmo assim deu pra gente fechar a questão! Os 7 primeiros não nulos são:

a 0 = 1 a 1 = 1 a 3 = - 5 a 4 = - 2 a 6 = 5 a 7 = 8 7 a 10 = - 8 35    

Resposta

Passo 1 prova que x 0 = 0 é um ponto ordinário e os sete primeiros termos não nulos são:

a 0 = 1 a 1 = 1 a 3 = - 5 a 4 = - 2 a 6 = 5 a 7 = 8 7 a 10 = - 8 35    

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