Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

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Enunciado

Considere a seguinte EDO: x 2 y ' ' + x - 1 y ' + x + 1 y = 0

  1. Mostre que x 0 = 1 é um ponto ordinário dessa equação.
  2. Determine a relação de recorrência da solução em séries dessa equação em torno deste ponto.
  3. Determine uma cota inferior para o raio de convergência da série encontrada em (b).

Passo 1

Começamos com a letra (a). A nossa equação é da forma: P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

Para que x 0 = 1 seja um ponto ordinário, precisamos que P x 0 ≠ 0 .

Como, por comparação, temos: P x = x 2

Então, segue que: P x 0 = P 1 = 1 2 = 1 ≠ 0

Portanto, trata-se um ponto ordinário.

Passo 2

Legal, vamos para a letra (b) agora. Para não termos que supor que a solução é da forma:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x - 1 n

Vamos fazer a substituição t = x - 1 , ficando: y = ∑ n = 0 ∞ a n t n

E também, na EDO: t + 1 2 y ' ' + t y ' + t + 2 y = 0

Legal, agora para determinar a recorrência, precisamos substituir na EDO. Para isso, determinamos as derivadas: y ' = ∑ n = 0 ∞ a n t n ' = ∑ n = 0 ∞ a n t n ' = ∑ n = 1 ∞ n a n t n - 1

Lembre-se que o contador avança uma unidade para cada vez que derivamos! Para a segunda derivada: y ' ' = ∑ n = 1 ∞ n a n t n - 1 ' = ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n t n - 2

Agora, podemos substituir na EDO:

t + 1 2 y ' ' + t y ' + t + 2 y = 0

t + 1 2 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n t n - 2 + t ∑ n = 1 ∞ n a n t n - 1 + t + 2 ∑ n = 0 ∞ a n t n = 0

Sendo:

t + 1 2 = t 2 + 2 t + 1

Vamos agora jogar o t para dentro do somatório. Para o somatório mais à esquerda: t + 1 2 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n t n - 2 = t 2 + 2 t + 1 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n t n - 2

= ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n t n + 2 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n t n - 1 + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n t n - 2

Para o somatório do meio: t ∑ n = 1 ∞ n a n t n - 1 = ∑ n = 1 ∞ n a n t n

Agora, para o somatório mais à direita:

t + 2 ∑ n = 0 ∞ a n t n = ∑ n = 0 ∞ a n t n + 1 + 2 ∑ n = 0 ∞ a n t n

Agora, devemos deixar todos os somatórios com o mesmo grau redefinindo o índice n por um m :

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n t n → m = n ⟹ ∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m t m

2 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n t n - 1 → m = n - 1 ⟹ ∑ m = 1 ∞ 2 m + 1 m a m + 1 t m

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n t n - 2 → m = n - 2 ⟹ ∑ m = 0 ∞ m + 2 m + 1 a m + 2 t m

∑ n = 1 ∞ n a n t n → m = 1 ⟹ ∑ m = 1 ∞ m a m t m

∑ n = 0 ∞ a n t n + 1 → m = n + 1 → ∑ m = 1 ∞ a m - 1 t m

2 ∑ n = 0 ∞ a n t n → m = n ⟹ 2 ∑ m = 0 ∞ a m t m

Agora colocamos todos esses somatórios (6 :O) no maior índice que aparece, no caso, m = 2 :

∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m t m ⟹ T U D O   C E R T O   S E U   E S P E R T O

∑ m = 1 ∞ 2 m + 1 m a m + 1 t m = 2 1 + 1 ⋅ 1 a 1 + 1 t 1 + ∑ m = 1 ∞ 2 m + 1 m a m + 1 t m

= 4 a 2 t + ∑ m = 2 ∞ 2 m + 1 m a m + 1 t m

Próximo!

∑ m = 0 ∞ m + 2 m + 1 a m + 2 t m

= 0 + 2 0 + 1 a 0 + 2 t 0 + 1 + 2 1 + 1 a 1 + 2 t 1 + ∑ m = 2 ∞ m + 2 m + 1 a m + 2 t m

= 2 a 2 + 6 a 3 t + ∑ m = 2 ∞ m + 2 m + 1 a m + 2 t m  

Olha só mais um aqui:

∑ m = 1 ∞ m a m t m = 1 a 1 t 1 + ∑ m = 2 ∞ m a m t m

= a 1 t + ∑ m = 2 ∞ m a m t m

Quase lá hein!

∑ m = 1 ∞ a m - 1 t m = a 1 - 1 t 1 + ∑ m = 2 ∞ a m - 1 t m

= a 0 t + ∑ m = 2 ∞ a m - 1 t m

O último agora:

2 ∑ m = 0 ∞ a m t m = 2 a 0 t 0 + 2 a 1 t 1 + 2 ∑ m = 2 ∞ a m t m

= 2 a 0 + 2 a 1 t + 2 ∑ m = 2 ∞ a m t m

Legal, então temos que substituir isso tudo na EDO:

∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m t m + 4 a 2 t + ∑ m = 2 ∞ 2 m + 1 m a m + 1 t m + 2 a 2 + 6 a 3 t

+ ∑ m = 2 ∞ m + 2 m + 1 a m + 2 t m + a 1 t + ∑ m = 2 ∞ m a m t m +

a 0 t + ∑ m = 2 ∞ a m - 1 t m + 2 a 0 + 2 a 1 t + 2 ∑ m = 2 ∞ a m t m = 0

Então, agora que os índices e os graus são iguais, podemos juntar os somatórios deixando o t m em evidência: ∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m + 2 m + 1 m a m + 1 + m + 2 m + 1 a m + 2 + m a m + a m - 1 + 2 a m t m

+ 4 a 2 t + 2 a 2 + 6 a 3 t + a 1 t + a 0 t + 2 a 0 + 2 a 1 t = 0

Vamos olhar agora para dentro do somatório e juntar os termos: m m - 1 a m + 2 m + 1 m a m + 1 + m + 2 m + 1 a m + 2 + m a m + a m - 1 + 2 a m

= m + 2 m + 1 a m + 2 + 2 m + 1 m a m + 1 + m m - 1 + m + 2 a m + a m - 1

= m + 2 m + 1 a m + 2 + 2 m + 1 m a m + 1 + m 2 + 2 a m + a m - 1

Assim, teremos, para todo t ≠ 0 : a m + 2 = - 2 m + 1 m a m + 1 + m 2 + 2 a m + a m - 1 m + 2 m + 1

Juntamos os termos de mesmo grau fora do somatório também: 4 a 2 + 6 a 3 + 3 a 1 + a 0 t + 2 a 2 + 2 a 0

Assim, novamente, para t ≠ 0 :

4 a 2 + 6 a 3 + 3 a 1 + a 0 = 0 ⟹ a 3 = - 1 6 4 a 2 + 3 a 1 + a 0

E para t = 0 :

a 2 = - a 0

Portanto, nossa relação de recorrência vai ser: a m + 2 = - 2 m + 1 m a m + 1 + m 2 + 2 a m + a m - 1 m + 2 m + 1  

a 3 = - 1 6 4 a 2 + 3 a 1 + a 0

a 2 = - a 0

UFA!

Passo 3

Mas ainda falta a letra (c). Com paz no coração, vamos lá! A cota inferior vai ser dada pelo ponto onde temos um ponto singular P = 0 . No nosso caso, temos: P x = x 2

Assim:

P 0 = 0

No caso, temos x 0 = 1 , então:

x 0 - 0 = 1 = 1

Logo, uma cota inferior para o raio de convergência é 1 .

Resposta

a m + 2 = - 2 m + 1 m a m + 1 + m 2 + 2 a m + a m - 1 m + 2 m + 1  

a 3 = - 1 6 4 a 2 + 3 a 1 + a 0

a 2 = - a 0

Cota inferior: 1 .

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