Qual das séries abaixo representa uma solução para:

y ' ' + y = 0 ,   x ∈ R ,

com condições iniciais y 0 = 1 e y ' 0 = 0 .

a )   ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n n !

b )   ∑ n = 0 ∞ x 2 n 2 n !

c )   ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 2 n + 1 !

d )   ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n n !

e )   ∑ n = 0 ∞ x n n !

Passo 1

Eaí gente, tudo na paz?

Nessa questão nos foi dada a EDO:

y ' ' + y = 0 ,   x ∈ R ,

com as condições iniciais y 0 = 1 e y ' 0 = 0 .

O enunciado pede pra gente encontrar a série que seja solução da EDO acima.

Tranquilo?!

Vamo dar uma resumida no passo a passo que vamos fazer pra resolver a EDO usando o método das séries:

1 ) Supomos que a solução da EDO é uma série de potências centralizada em 0 , dada por:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

2 )   Após derivarmos y , substituímos na EDO

3 ) Juntamos os somatórios

4 )   Colocamos a potência de x em evidência

5 )   Encontramos a relação de recorrência

6 ) Generalizamos para qualquer a n

7 )   Encontramos a série que é solução da EDO 😊

Perfeito! Agora que revisamos, vamos lá olhar com calma cada uma dessas etapas.

Passo 2

Bom, primeiramente devemos supor que:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

é solução da EDO.

Assim, iremos derivar y para substituir lá na EDO.

y ' x = ∑ n = 1 ∞ a n ⋅ n x n - 1

(obs: quando derivamos a expressão, o termo a 0 , que era apenas uma constante, foi zerado).

Para substituir na EDO, precisamos derivar mais uma vez. Assim:

y ' ' x =   ∑ n = 2 ∞ a n ⋅ n n - 1 x n - 2

Perfeito! (Dá uma olhadinha no índice do somatório mais uma vez 😊).

Assim, vamos substituir na EDO:

y ' ' + y = 0

∑ n = 2 ∞ a n ⋅ n n - 1 x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

A próxima etapa é juntarmos os somatórios.

Para isso, precisamos que os expoentes de x estejam conversando sabe?

Temos um n - 2 e um n . Para fazer o primeiro termo se igualar ao segundo, podemos trocar:

n → n + 2

Substituindo:

∑ n + 2 = 2 ∞ a n + 2 ⋅ ( n + 2 ) n + 2 - 1 x n + 2 - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

∑ n = 0 ∞ a n + 2 ⋅ ( n + 2 ) n + 1 x n + ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Perfeito! Como os subíndices do somatório estão começando do mesmo ponto, já podemos juntá-los:

∑ n = 0 ∞ a n + 2 ⋅ n + 2 n + 1 x n + a n x n = 0

Colocando x n em evidência, temos:

∑ n = 0 ∞ a n + 2 ⋅ n + 2 n + 1 + a n x n = 0

Como o x está variando, quem precisa zerar é o termo que o multiplica!

Assim, encontramos a nossa relação de recorrência:

a n + 2 ⋅ n + 2 n + 1 + a n = 0

Portanto:

a n + 2 = a n n + 2 n + 1

Muito bom!

Passo 3

A próxima etapa é generalizar para qualquer a n .

Para fazer isso, vamos calcular alguns valores de a n . Começando pelas nossas condições iniciais:

y 0 = 1

Como:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Temos que:

y 0 = a 0 = 1

Usando agora que:

y ' 0 = 0

Já que:

y ' x = ∑ n = 1 ∞ a n ⋅ n x n - 1

Teremos:

y ' 0 = a 1 = 0

Portanto:

a 0 = 1 a 1 = 0

Perfeito!

Voltando para a relação de recorrência:

a n + 2 = a n n + 2 n + 1

Se n = 0 , temos:

a 2 = 1 0 + 2 0 + 1 = 1 2

n = 1 →     a 3 = 0

n = 2 → a 4 = 1 2 2 + 2 2 + 1 = 1 2 ⋅ 3 ⋅ 4

n = 3 → a 5 = 0

n = 4 → a 6 = 1 2 ⋅ 1 4 ⋅ 3 4 + 2 4 + 1 = 1 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6  

Olha aí gente, conseguiram perceber o que tá acontecendo?

Sempre que a p , tal que p é ímpar, então:

a p = 0

Sempre que a p é tal que p é par, então:

a p = 1 p !

Assim, podemos escrever a n como:

a 2 n = 1 2 n ! ,       n = 1,2 , 3 …

a 2 n + 1 = 0 ,       n = 1,2 , 3 …

Perfeito! Essa é a generalização de a n .

Assim, podemos voltar para a nossa série original:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Vamos separá-la nos termos pares e ímpares:

y x =   ∑ n = 0 ∞ a 2 n x 2 n + ∑ n = 0 ∞ a 2 n + 1 x 2 n + 1

Como os coeficientes a 2 n + 1 = 0 , ficamos apenas com:

y x =   ∑ n = 0 ∞ a 2 n x 2 n

Substituindo a 2 n = 1 2 n ! ,       vem:

y x =   ∑ n = 0 ∞ x 2 n 2 n !

Aeeee! Prontinho gente, encontramos a resposta.

Conseguiram entender? Responde Aí!

Resposta

b )   y x =   ∑ n = 0 ∞ x 2 n 2 n !

Exercícios de Livros Relacionados

Use série de potência para resolver a equação diferencial. y ' ' + x 2 y ' + x y = 0 ,y 0 = 0 ,y ' 0 = 1
Em cada um dos problemas de 15 a 18:Encontre os cinco primeiros termos não nulos na solução do problema de valor inicial dado.Faça gráficos das aproximações da solução com quatro e cinco termos no mes
Use séries de potências para resolver a equação diferencial. x - 3 y ' + 2 y = 0
Em cada um dos problemas de 1 a 14:(a) Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x 0 ; encontre a relação de recorrência.(b) Encontre os quatro primeir
Em cada um dos problemas de 1 a 14:(a) Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x 0 ; encontre a relação de recorrência.(b) Encontre os quatro primeir