Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

UFRJ, Cálculo 4, P1-2019.1, Questão 2a

Considere a equação diferencial:

x - π 2 y ' ' + cos ⁡ x y ' + x - π 2 ² y = 0

Demonstre que o ponto x = π 2 é um ponto ordinário da equação.

Passo 1

A função f ( x ) = cos ⁡ x pode ser representada por uma série de taylor em x 0 = π 2

cos ⁡ x = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n 2 n - 1 ! x - π 2 2 n - 1

∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n 2 n - 1 ! x - π 2 2 n - 1 = - x - π 2 + 1 3 ! x - π 2 3 - 1 5 ! + …

A gente pode substituir na equação:

x - π 2 y ' ' + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n - 1 ! x - π 2 2 n - 1 y ' + x - π 2 ² y = 0

Se dividirmos tudo por x - π 2 nossa EDO fica com uma carinha melhor pra gente analisar:

y ' ' + ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n - 1 ! x - π 2 2 n y ' + x - π 2 y = 0

Se liga que eu cortei o primeiro termo da série já que ele é x - π 2 , enão agora nossa série começa de n = 0 . Nossa EDO tem a seguinte carinha:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

E pra ser um ponto ordinário, precisamos que P x 0 ≠ 0 . Como nós manipulamos a equação e P x = 1   para todo x , dizemos que todos os pontos são ordinários, incluindo o ponto π 2 .

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Resposta

π 2 é um ponto ordinário da equação.

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