Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

  1. Mostre que x = 0 é um ponto ordinário para a equação
  2. x 2 + 1 y ' ' + 2 x y ' - 2 y = 0

  3. Determine a formula de recorrência da solução em série da equação.
  4. Encontre as duas soluções linearmente independentes indicando o termo geral de cada solução de.
  5. Encontre a solução por série de potencias da equação dado que y 0 = 2 e y ' 0 = 3

Passo 1

a)

O primeiro passo é verificar que que x = 0 é um ponto ordinário. Já que P x = x 2 + 1 e P 0 = 1 ≠ 0 , então ele é de fato ordinário.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Vamos buscar uma solução em série para esta equação. Assim, admitimos uma função analítica com as seguintes características:

f x = ∑ n = 0 ∞ c n   x n

f ' x = ∑ n = 1 ∞ c n   n x n - 1

f ' ' x = ∑ n = 2 ∞ c n   n ( n - 1 ) x n - 2

Passo 3

Vamos, agora, introduzir as fórmulas na equação:

x 2 + 1 y ' ' + 2 x y ' - 2 y = 0

x 2 + 1 ∑ n = 2 ∞ c n   n n - 1 x n - 2 + 2 x ∑ n = 1 ∞ c n   n x n - 1 - 2 ∑ n = 0 ∞ c n   x n = 0

Assim, vamos colocar todos os x e coeficientes para dentro dos somatórios.

∑ n = 2 ∞ c n   n n - 1 x n - 2 + ∑ n = 2 ∞ c n   n n - 1 x n + ∑ n = 1 ∞ 2 c n   n x n - ∑ n = 0 ∞ 2 c n   x n = 0

Passo 4

E vamos deixar sempre x n dentro. Para isso, necessitamos fazer um deslocamento no índice do primeiro somatório.

∑ n = 2 ∞ c n   n ( n - 1 ) x n - 2 = ∑ n = 0 ∞ c n + 2   ( n + 2 ) ( n + 1 ) x n

Logo:

∑ n = 0 ∞ c n + 2   ( n + 2 ) ( n + 1 ) x n + ∑ n = 2 ∞ c n   n n - 1 x n + ∑ n = 1 ∞ 2 c n   n x n - ∑ n = 0 ∞ 2 c n   x n = 0

Passo 5

Agora, vamos deixar todos os somatórios a partir do maior valor inicial de n   ( n = 2 ), tirando os termos que sobram do somatório:

∑ n = 0 ∞ c n + 2   ( n + 2 ) ( n + 1 ) x n = c 2 . 2.1 + c 3 . 3.2 . x + ∑ n = 2 ∞ c n + 2   ( n + 2 ) ( n + 1 ) x n

∑ n = 2 ∞ c n   n ( n - 1 ) x n   :     O k ! = )

∑ n = 1 ∞ 2 c n n   x n = 2 c 1 . 1 . x + ∑ n = 2 ∞ 2 c n   n   x n

∑ n = 0 ∞ 2 c n   x n = 2 c 0 + 2 c 1 . x + ∑ n = 2 ∞ 2 c n   x n

Assim, fica:

2 c 2 + 6 c 3 x + ∑ n = 2 ∞ c n + 2   ( n + 2 ) ( n + 1 ) x n + ∑ n = 2 ∞ c n   n n - 1 x n + 2 c 1 x + ∑ n = 2 ∞ 2 c n   n   x n - 2 c 0 + 2 c 1 x + ∑ n = 2 ∞ 2 c n   x n = 0

E podemos juntar os somatórios:

2 c 2 + 6 c 3 x - 2 c 0 + ∑ n = 2 ∞ c n + 2   n + 2 n + 1 + c n   n   n - 1 + 2 c n n - 2 c n   x n = 0

Passo 6

Mas como x n ≠ 0 , teremos

c n + 2   n + 2 n + 1 + c n   n   n - 1 + 2 c n n - 2 c n = 0

De onde obtemos a relação de recorrência:

c n + 2   n + 2 n + 1 + c n   n   n - 1 + 2 n - 2 = 0

c n + 2   n + 2 n + 1 = - c n   n 2 + n - 2

c n + 2   = - c n ( n 2 + n - 2 ) n + 2 n + 1

Esta fórmula é válida para n ≥ 2 , onde c 0 e c 1 são constantes do problema.

Passo 7

c)

Vamos obter, agora, as duas séries que compõem as soluções linearmente independentes, uma começando em c 0 e outra em c 1 .

y x = ∑ n = 0 ∞ c n   x n

y x = c 0 + c 2 x 2 + c 4 x 4 + … ⏟ y 1 ( x ) + c 1 x + c 3 x 3 + c 5 x 5 + … ⏟ y 2 ( x )

Assim, teremos:

y 1 x = ∑ k = 0 ∞ c 2 k   x 2 k

y 2 x = ∑ k = 0 ∞ c 2 k + 1   x 2 k + 1

Desta forma, quando k varia em uma unidade, estamos pulando os termos de dois em dois, percebeu?

Passo 8

Show, vamos achar c 2 k e c 2 k + 1 agora!

Para c 2 k ( k ≥ 1 ), temos:

c 2   = - c 0   0 + 0 - 2   0 + 2 ( 0 + 1 ) = 1 c 0

c 4   = - c 2 4 + 2 - 2     2 + 2 ( 2 + 1 ) = - 4 3.4 c 2 = - 1 3 c 0

c 6   = - c 4   16 + 4 - 2   4 + 2 ( 4 + 1 ) = - 18 5.6 c 4 = 1 5 c 0

c 2 k = - 1 k + 1 2 k - 1 c 0

E, portanto,

y 1 x = c 0 ∑ k = 0 ∞ - 1 k + 1 2 k - 1   x 2 k

Passo 9

Para c 2 k + 1 ( k ≥ 1 )

c 3   = - c 1   1 + 1 - 2   1 + 2 ( 1 + 1 ) = 0 3.2 c 1 = 0

Daí já dá pra gente ver que todos os outros elementos serão iguais a zero.

c 2 k + 1 = 0

Assim:

y 2 x = c 1 x

Passo 10

d)

Vamos utilizar as condições iniciais agora para encontrar c 0 e c 1 . Nossa solução é

y x = y 1 x + y 2 ( x )

y x = c 0 ∑ k = 0 ∞ - 1 k + 1 2 k - 1   x 2 k + c 1 x

Calculando y ' ( x )

y ' x = c 0 ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1 k + 1 2 k - 1   x 2 k - 1 + c 1

Usando as condições iniciais

y 0 = c 0 = 2

y ' 0 = c 1 = 3

Logo a solução será

y x = 2 ∑ k = 0 ∞ - 1 k + 1 2 k - 1   x 2 k + 3 x

Resposta

b)

c n + 2   = - c n ( n 2 + n - 2 ) n + 2 n + 1

c)

y 1 x = c 0 ∑ k = 0 ∞ - 1 k + 1 2 k - 1   x 2 k

y 2 x = c 1 x

d)

y x = 2 ∑ k = 0 ∞ - 1 k + 1 2 k - 1   x 2 k + 3 x

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