Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

Séries de Potências

Considere a equação diferencial

y ' ' - x y = 1

Com y 0 = 1 e y ' 0 = 0

Cuja solução buscaremos na forma de uma série de potencias

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n    

(a) Determine a relação de recorrência entre os coeficientes.

(b) Escreva os seis primeiros termos.

Passo 1

a)

A nossa missão aqui é resolver a equação diferencial dada   y ' ' - x y = 1 , sabendo que:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Então precisaremos calcular y ' ( x ) e y ' ' x :

y ' x = ∑ n = 1 ∞ a n n x n - 1

E

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ a n n n - 1 x n - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que temos os termos necessários, vamos reescrever a equação diferencial com eles:

∑ n = 2 ∞ a n n n - 1 x n - 2 - x ∑ n = 0 ∞ a n x n = 1

Desenvolvendo:

∑ n = 2 ∞ a n n n - 1 x n - 2 - ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 = 1

Passo 3

Agora temos que deixar todos os x n + 1 dentro dos somatórios, mudando o seu índice. Começando com

∑ n = 2 ∞ a n n n - 1 x n - 2 ⇒ ∑ n = - 1 ∞ a n + 3 n + 3 n + 2 x n + 1

Esse era o único que precisava se mudado, repara que dessa vez temos o n começando em um cara negativo, não precisa se preocupar com isso, esse n pode ser negativo neste caso porque quando substituirmos no somatório não vai dar problema nenhum.

Passo 4

A nossa EDO vai ficar

∑ n = - 1 ∞ a n + 3 n + 3 n + 2 x n + 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 = 1

Precisamos deixar todos os inícios no mesmo lugar agora, vamos começar todas com n = 0

2 a 2 + ∑ n = 0 ∞ a n + 3 n + 3 n + 2 x n + 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 = 1

Juntando os somatórios temos

2 a 2 + ∑ n = 0 ∞ a n + 3 n + 3 n + 2 - a n x n + 1 = 1

Isso nos diz que

2 a 2 = 1

Além disso tiramos a relação de recorrência

a n + 3 n + 3 n + 2 - a n

Vamos ter

a n + 3 = a n n + 3 n + 2

Com n = 0,1 , 2 …

Passo 5

b)

Vamos agora achar os termos, primeiro vamos ver o que temos com as condições iniciais

y 0 = 1 ⇒ a 0 = 1

y ' 0 = 0 ⇒ a 1 = 0

Além disso também temos que

a 2 = 1 2

Vamos usar a relação de recorrência agora

n = 0 ⇒ a 3 = a 0 3 ∙ 2 = a 0 6 = 1 6

n = 1 ⇒ a 4 = a 1 4 ∙ 3 = a 1 12 = 0

n = 2 ⇒ a 5 = a 2 5 ∙ 4 = a 2 20 = 1 / 2 20 = 1 40

Assim temos

a 0 = 1

a 1 = 0

a 2 = 1 2

a 3 = 1 6

a 4 = 0

a 5 = 1 40

Resposta

a)

a n + 3 = a n n + 3 n + 2

Com n = 0,1 , 2 …

b)

a 0 = 1

a 1 = 0

a 2 = 1 2

a 3 = 1 6

a 4 = 0

a 5 = 1 40

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