Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

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Enunciado

3. Prove que a série de potências y = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n x n é solução da equação:

x + 1 y ' ' + y ' = 0

Determine os três primeiros termos de uma segunda solução linearmente independente.

Passo 1

Bem, é uma EDO com coeficientes não constantes, e como estamos supondo que a série é solução, precisamos calcular suas derivadas:

y = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n x n

Derivando:

y ' x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n n x n - 1

y ' ' ( x ) = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n n ( n - 1 ) x n - 2

Agora, vamos substituir esses termos no lado esquerdo da EDO e verificar se eles realmente somam zero. Caso sim, então a série é solução.

x + 1 ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n - 1 x n - 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x n - 1

Passo 2

Agora vamos com calma, primeiro passe o x que está no primeiro somatório para dentro:

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n - 1 x n - 1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n - 1 x n - 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x n - 1

A primeira coisa a fazer sempre é deixar tudo com o mesmo expoente de x n - 2 , vemos que o primeiro e terceiro somatórios estão com a cara de x n - 1 , o que devemos fazer é substituir n por n + 1 , mas substitua em tudo hein!

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n - 1 x n - 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n x n - 1

Então vamos voltar para o somatório, substituindo agora esse somatório que obtivemos agora:

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n - 1 x n - 1 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n n x n - 1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x n - 1

Eita que beleza! Mas ferrou, agora tem dois caras começando em 1 e o outro começando em 0 .

Nesses casos, você sempre abre os somatórios que começam antes até o valor do somatório que começa com o maior valor.

No caso, o somatório que começa com o maior valor é o último e o primeiro também, porque eles começam em 1 , então vamos abrir o outro para começar em 1 também!

∑ n = 0 ∞ - 1 n n x n - 1 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n n x n - 1

Substituindo isso:

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n - 1 x n - 1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n n x n - 1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x n - 1

Opa! Agora que tudo está com o mesmo expoente e começando no mesmo valor, podemos juntar!

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n - 1 + - 1 n n + - 1 n + 1 x n - 1

Passo 3

Finalmente, vamos ver se esses coeficientes somam 0 :

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n - 1 + - 1 n n + - 1 n + 1 x n - 1

- 1 n + 1 n - 1 + - 1 n n + - 1 n + 1 = - 1 n + 1 n - 1 - n + 1 = 0

AEEEEEEEE!!! Sim, é solução.

Passo 4

Agora, para descobrir a outra solução, vamos dar uma olhada na nossa EDO de novo:

x + 1 y ' ' + y ' = 0

Perceba que a gente só tem y ' ' e y ' envolvidos, então poderíamos ter como solução uma função constante y = ∑ n = 1 ∞ n e seus três primeiros termos seriam:

a 1 = 1

a 2 = 2

a 3 = 3

Resposta

a 1 = 1

a 2 = 2

a 3 = 3

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