Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

Solução de EDO em série – ponto ordinário

Considere a equação diferencial

x 2 + 1 y ' ' + x + 1 y ' + y = 0

Determine a relação de recorrência da solução por série de potências de ( x + 1 ) (série centrada em x 0 = - 1 ) da equação dada.

Passo 1

Como o problema pede, vamos solucionar o problema definindo y ( x ) como uma série centrada em x 0 = - 1 . Antes de tudo, precisamos verificar se o ponto x 0 é ordinário. Temos, nesse caso, P x = x 2 + 1 e P - 1 = 2 ≠ 0 Logo, x 0 = - 1 é ordinário, podemos usar o método aqui então.

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Passo 2

Vamos, então, definir:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n ( x + 1 ) n

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n a n ( x + 1 ) n - 1

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n ( x + 1 ) n - 2

Fazendo essas substituições na EDO, temos:

x 2 + 1 ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n ( x + 1 ) n - 2 + x + 1 ∑ n = 1 ∞ n a n ( x + 1 ) n - 1 + ∑ n = 0 ∞ a n ( x + 1 ) n = 0

Agora vamos parar aqui um pouco para pensar. O próximo passo seria multiplicar a 1ª série por x 2 + 1 e a segunda por ( x + 1 ) . Repara que na segunda série, como temos uma potência de ( x + 1 ) , teremos:

x + 1 x + 1 n - 1 = x + 1 n

Isso simplifica muito as coisas! Mas na 1ª série, temos ( x 2 + 1 ) multiplicando x + 1 n - 2 e não conseguimos simplificar nada, não é? Não dá para trabalhar com isso! O que precisamos fazer então é escrever esse termo ( x 2 + 1 ) em termos de ( x + 1 ) , como assim? Olha só?

x 2 + 1 = x + 1 2 - 2 x

Completamos o quadrado, certo? Já temos um ( x + 1 ) , agora temos que fazer aparecer outro:

x 2 + 1 = x + 1 2 - 2 x + 1 + 2

O que fizemos foi criar termos ( x + 1 ) e ir tirando o que colocamos a mais, para não alterar a expressão. Ok? Vamos agora substituir isso na EDO, você vai ver que as coisas ficarão bem melhores:

x + 1 2 - 2 x + 1 + 2 ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n ( x + 1 ) n - 2 ⏟ A + ∑ n = 1 ∞ n a n ( x + 1 ) n + ∑ n = 0 ∞ a n ( x + 1 ) n = 0

Vamos simplificar só esse primeiro termo que chamamos de A , para não confundir muito as coisas!

A = x + 1 2 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x + 1 n - 2 - 2 x + 1 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x + 1 n - 2 + 2 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x + 1 n - 2

A = ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x + 1 n - 2 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x + 1 n - 1 + 2 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x + 1 n - 2

Ok? Temos então

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x + 1 n - 2 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x + 1 n - 1 + 2 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x + 1 n - 2 + ∑ n = 1 ∞ n a n ( x + 1 ) n + ∑ n = 0 ∞ a n ( x + 1 ) n = 0

Passo 3

Precisamos, agora, igualar as potências de x por ( x + 1 ) n . Temos:

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x + 1 n - 1 = ∑ n = 1 ∞ ( n + 1 ) n a n + 1 x + 1 n

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x + 1 n - 2 = ∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) n + 1 a n + 2 x + 1 n

Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice n , no 1º caso, 1 e no 2º 2.

Temos, então:

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x + 1 n - 2 ∑ n = 1 ∞ ( n + 1 ) n a n + 1 x + 1 n + 2 ∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) n + 1 a n + 2 x + 1 n + ∑ n = 1 ∞ n a n ( x + 1 ) n + ∑ n = 0 ∞ a n ( x + 1 ) n = 0

Passo 4

Agora devemos igualar os índices dos somatórios pelo maior (nesse caso n = 2 ), colocando para fora do somatório os termos correspondentes aos índices anteriores.

∑ n = 1 ∞ n + 1 n a n + 1 x + 1 n = 2 a 2 ( x + 1 ) + ∑ n = 2 ∞ n + 1 n a n + 1 x + 1 n

Como o somatório deve passar a começar em n = 2 , colocamos para fora o termo correspondente a n = 1 . Vamos fazer o mesmo as outras séries:

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) n + 1 a n + 2 x + 1 n = 2 a 2 + 6 a 3 x + 1 + ∑ n = 2 ∞ ( n + 2 ) n + 1 a n + 2 x + 1 n

∑ n = 1 ∞ n a n ( x + 1 ) n = a 1 x + 1 + ∑ n = 2 ∞ n a n ( x + 1 ) n

∑ n = 0 ∞ a n ( x + 1 ) n = a 0 + a 1 x + 1 + ∑ n = 2 ∞ a n ( x + 1 ) n

Temos, então:

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x + 1 n - 2 2 a 2 ( x + 1 ) + ∑ n = 2 ∞ n + 1 n a n + 1 x + 1 n + 2 2 a 2 + 6 a 3 x + 1 + ∑ n = 2 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x + 1 n + a 1 x + 1 + ∑ n = 2 ∞ n a n x + 1 n + a 0 + a 1 x + 1 + ∑ n = 2 ∞ a n x + 1 n = 0

Passo 5

Vamos, então, juntar os somatórios colocando ( x + 1 ) n em evidência e agrupar os termos “soltos”.

- 4 a 2 x + 1 + 4 a 2 + 12 a 3 x + 1 + a 1 x + 1 + a 0 + a 1 x + 1 + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x + 1 n - 2 n + 1 n a n + 1 x + 1 n + 2 n + 2 n + 1 a n + 2 x + 1 n + n a n x + 1 n + a n x + 1 n = 0

- 4 a 2 + 12 a 3 + 2 a 1 x + 1 + ( 4 a 2 + a 0 ) + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n - 2 n + 1 n a n + 1 + 2 n + 2 n + 1 a n + 2 + n a n + a n x + 1 n = 0

Passo 6

Como ( x + 1 ) n ≠ 0 , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero.

n n - 1 a n - 2 n + 1 n a n + 1 + 2 n + 2 n + 1 a n + 2 + n a n + a n = 0

n 2 - n + n + 1 a n - 2 n + 1 n a n + 1 + 2 n + 2 n + 1 a n + 2 = 0

n 2 + 1 a n - 2 n + 1 n a n + 1 + 2 n + 2 n + 1 a n + 2 = 0

a n + 2 = 2 n + 1 n a n + 1 - n 2 + 1 a n 2 n + 2 ( n + 1 )

Os coeficientes de cada termo “solto”, fora do somatório também devem ser zero.

4 a 2 + a 0 = 0       →       a 2 = - a 0 4

- 4 a 2 + 12 a 3 + 2 a 1 = 0       →       a 3 = 4 a 2 - 2 a 1 12 = - a 0 - 2 a 1 12

Portanto, a relação que encontramos para a n + 2 vale a partir de a 4 , ou seja, a partir de n = 2 . Encontramos nossa relação de recorrência.

Resposta

a n + 2 = 2 n + 1 n a n + 1 - n 2 + 1 a n 2 n + 2 ( n + 1 )     n ≥ 2

a 2 = - a 0 4

a 3 = - a 0 - 2 a 1 12

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