Uma massa de 4   k g desloca de 0,1   m para baixo uma mola. partindo da posição de equilíbrio, damos ao sistema massa-mola uma velocidade inicial de 5   m / s para baixo. O meio tem constante de amortecimento a   = 80   N / m / s . Encontre a função u ( t ) que descreve a posição da massa em função do tempo

Passo 1

Eaew, belezinha?

Nós temos aqui o caso de um sistema massa-mola com amortecimento gerado pelo meio! Queremos encontrar a função que dita a posição da massa m em todo o instante de tempo, aqui chamada de u ( t ) . O segredo para resolver este problema é escrever a segunda lei de Newton para obter uma equação diferencial de segunda ordem, e utilizar as condições iniciais dadas para resolver o problema! Belezinha? Bora lá!

Passo 2

A segunda lei de Newton nos diz que

∑ F = m   A

a aceleração é a segunda derivada da posição no tempo, e portanto, temos que

A = d 2 d t 2 [ u ( t ) ] = u ¨ ( t )

A força resultante neste caso será o peso apontando para baixo, a força de atrito proporcional a velocidade que sempre aponta no sentido contrário ao movimento, e a força restauradora da mola ao ser contraída, usando as fórmulas conhecidas para cada uma destas forças, temos que

- k   u ( t ) - a   u ˙ ( t ) + m g = m   u ¨ ( t )

Note que usei a velocidade como a derivada da posição! Antes de analisarmos as condições iniciais! Vamos ter que analisar um pouco a posição de equilíbrio! Saca só!

Passo 3

O enunciado nos dá a informação que a massa de 4   k g , pressiona (ou estica, não faz diferença) a mola em 0,1   m , portanto, no equilíbrio, temos que a seguinte igualdade é verdade

m g - k   Δ u = 0

note que o corpo está parado na posição de equilíbrio, então a velocidade e a aceleração são nulas. Desta forma, se usarmos g = 10   m / s (Porquê é mais fácil fazer conta), temos a constante da mola como

k = m g Δ u = 4 ( 10 ) 0,1

ou, simplesmente, temos que k = 400   N / m . Como temos que o amortecimento do meio é a = 80   N / m / s , provavelmente este será um caso de amortecimento subcrítico. Mas vamos checar isso mais para frente, belezinha?

Passo 4

O enunciado também nos dá informações sobre as condições iniciais que o sistema precisa obedecer, temos que partir da posição de equilíbrio com uma velocidade inicial nos indica que

u ( 0 ) = 0,1   m e u ˙ ( 0 ) = v 0 = 5   m / s

Nós também podemos fazer uma escolha diferente de referencial de forma que a condição inicial da posição seja em u = 0 . Mas isso não é necessário! Vamos tentar resolver a partir daqui! Primeiro, vamos dividir a nossa equação diferencial toda por m , temos que

- k m   u ( t ) - a m   u ˙ ( t ) + g =   u ¨ ( t )

ou simplesmente

u ¨ ( t ) + k m   u ( t ) + a m   u ˙ ( t ) = - g

Temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com um termo não homogêneo constante. Lembra como resolver uma equação deste tipo? Vem comigo!

Passo 5

A primeira coisa que fazemos é escrever o polinômio característico como

r 2 + a m r + k m = 0

Usando Bhaskara, temos que as raízes são

r ± = - q m ± ( a m ) 2 - 4 ( 1 ) ( k m ) 2 ( 1 ) = - a m ± 1 m a 2 - 4 k 2

Precisamos comparar os valores de a e k para sabermos como será a nossa solução, usando que k = 400   N / m e a = 80   N / m / s . Obtemos que

r ± = - 20 ± 1 4 4800 2 = - 20 ± 10 3 2

ou simplificando, temos que

r + = - 10 + 5 3 e r - = - 10 - 5 3

Ou seja, podemos escrever a solução da parte homogênea como

u H ( t ) = C 1 e [ - 10 + 5 3 ] t + C 2 e [ - 10 - 5 3 ] t

que é o formato típico para uma amortecimento supercrítico! Vamos fazer agora a parte não-homogênea e aplicar as condições iniciais!

Passo 6

A parte não homogênea pode ser encontrada mais facilmente pelo menos de coeficientes a determinar, note que como temos que a nossa parte não homogênea é simplesmente uma constante, podemos propor uma solução particular da forma

u p ( t ) = C 3

simplesmente uma constante. Sendo assim, a equação diferencial se torna

0 + k m   C 3 + 0 = - g

ou, isolando a nossa constante, temos que

C 3 = - m g k = - 4 ( 10 ) 400

E portanto, a solução particular é da forma

u p ( t ) = - 1 10 = - 0,1

e, portanto, a solução da nossa equação diferencial é

u ( t ) = u H ( t ) + u p ( t ) = C 1 e [ - 10 + 5 3 ] t + C 2 e [ - 10 - 5 3 ] t - 0,1

Maravilha! Agora é só aplicar as condições iniciais! Bora lá!

Passo 7

Temos as condições iniciais como

u ( 0 ) = 0,1   m e u ˙ ( 0 ) = v 0 = 5   m / s

avaliando a condição sobre a posição, temos que

u ( 0 ) = C 1 e 0 + C 2 e 0 - 0,1 = C 1 + C 2 - 0,1

como temos que u ( 0 ) = 0,1 , podemos escrever que

0,1 = C 1 + C 2 - 0,1

ou simplesmente

C 1 + C 2 = 0,2

O que nos diz a outra condição inicial? Ela é uma condição inicial sobre a derivada da função u ( t ) , portanto, precisamos derivar a solução que obtivemos, bora lá!

Passo 8

Para derivar a nossa função, podemos simplesmente lembrar que

d d t [ e a t ] = a e a t

desta forma, a nossa derivada é

u ˙ ( t ) = C 1 [ - 10 + 5 3 ] e [ - 10 + 5 3 ] t + C 2 [ - 10 - 5 3 ] e [ - 10 - 5 3 ] t - 0

Usando agora que u ˙ ( 0 ) = 5 , podemos escrever que

5 = C 1 [ - 10 + 5 3 ] e 0 + C 2 [ - 10 - 5 3 ] e 0 = C 1 [ - 10 + 5 3 ] + C 2 [ - 10 - 5 3 ]

que nos dá a segunda equação necessária como

C 1 [ - 10 + 5 3 ] + C 2 [ - 10 - 5 3 ] = 5

Vamos resolver o sisteminha de equações! Bora lá!

Passo 9

Temos duas equações para obtermos as constantes, da equação

C 1 + C 2 = 0,2

podemos isolar e obter que C 1 = 0,2 - C 2 . Usando este resultado na equação

C 1 [ - 10 + 5 3 ] + C 2 [ - 10 - 5 3 ] = 5

obtemos que

[ 0,2   -   C 2 ] [ - 10 + 5 3 ] - C 2 [ 10 + 5 3 ] = 5

Dividindo tudo por 5 (por simplicidade), temos que

[ 0,2   -   C 2 ] [ - 2 + 3 ] - C 2 [ 2 + 3 ] = 1

Podemos distribuir os produtos no lado esquerdo de forma a obter

- 0,4 + 0,2 3 + 2 C 2 - 3 C 2 - 2 C 2 - 3 C 2 = 1

Juntando os termos com C 2 , podemos isolá-lo como

C 2 = 0,2 3 - 1,4 2 3 ≈ - 0,30

Agora, usando que C 1 = [ 0,2 - C 2 ] , temos que

C 1 = [ 0,2 - ( - 0,3 ) ] = 0,5

Maravilha! Finalmente, nossa solução é simplesmente

u ( t ) = 0,5 e [ - 10 + 5 3 ] t - 0,3 e [ - 10 - 5 3 ] t - 0,1

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

u ( t ) = 0,5 e [ - 10 + 5 3 ] t - 0,3 e [ - 10 - 5 3 ] t - 0,1

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