Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

UFRJ, Cálculo 4, PF - 2017.1, Questão 1

Considere a equação

y " - x y ' - y = 0

  1. Mostre que x   =   0 é ponto ordinário dessa equação.
  2. Determine a relação de recorrência dos coeficientes da solução em série dessa equação em torno do ponto x   =   0 .
  3. Determine os primeiros quatro termos não nulos da solução y ( x ) que satisfaz y ( 0 )   =   2 e y   '   ( 0 )   =   0 .

Passo 1

a )

Temos:

P x = 1

e P 0 = 1 0

Pronto! Podemos chamar o ponto x 0 = 0 de ordinário.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

A solução em série da equação ao redor do ponto ordinário é:

y x = n = 0 a n x n

Para encontrar a relação de recorrência, precisamos também de calcular tanto a primeira quanto a segunda derivada:

y ' x =   n = 1 n a n x n - 1

y " x =   n = 2 ( n - 1 ) n a n x n - 2

E substituímos essas belezinhas na EDO

y " - x y ' - y = 0          

n = 2 ( n - 1 ) n a n x n - 2 - x n = 1 n a n x n - 1 - n = 0 a n x n = 0

n = 2 ( n - 1 ) n a n x n - 2 - n = 1 n a n x n - n = 0 a n x n = 0

Para chegar a uma única série, a gente vai ter que trabalhar um pouquinho em cima dessas séries fazendo duas coisas:

  1. Colocar as séries sobre a mesma potência x n .
  2. E coloca-las começando do mesmo ponto!

Passo 3

Vamos então coloca-las sob a mesma potência! Por sorte, só precisamos alterar a primeira série.

n = 2 ( n - 1 ) n a n x n - 2

Para fazer isso, podemos realizar uma mudança de variável:

n - 2 = m

Assim, quando n = 2 , m = 0 e quando n = , m também é!

n = 2 ( n - 1 ) n a n x n - 2 = m = 0 m + 1 m + 2 a m + 2 x m

Como m é apenas um nome de uma variável, podemos nomeá-lo novamente de n ficando com...

n = 0 n + 1 n + 2 a n + 2 x n - n = 1 n a n x n - n = 0 a n x n = 0

Passo 4

Agora vamos coloca-las começando de um único n . No caso, de n = 1 ...

Em relação à primeira:

n = 0 n + 1 n + 2 a n + 2 x n = 2 a 2 + n = 1 n + 1 n + 2 a n + 2 x n

Em relação ao último somatório...

n = 0 a n x n = a 0 + n = 1 a n x n

Logo...

2 a 2 + n = 1 n + 1 n + 2 a n + 2 x n - n = 1 n a n x n - a 0 + n = 1 a n x n = 0    

2 a 2 - a 0 + n = 1 n + 1 n + 2 a n + 2 x n - n = 1 n a n x n - n = 1 a n x n = 0  

Passo 5

Vamos juntar os somatórios colocando o x m em evidência e agrupar os termos soltos.

2 a 2 - a 0 + n = 1 n + 1 n + 2 a n + 2 x n - n = 1 n a n x n - n = 1 a n x n = 0  

2 a 2 - a 0 + n = 1 n + 1 n + 2 a n + 2 - ( n + 1 ) a n x n = 0

Para isso tudo ser 0 , os termos livres tem que ser igual a 0 :

2 a 2 - a 0 = 0

Enquanto que os coeficientes na frente de x n também tem que zerar:

n + 1 n + 2 a n + 2 - ( n + 1 ) a n = 0

Passo 6

Para encontrar as relações de recorrência, basta fazer:

n + 1 n + 2 a n + 2 - ( n + 1 ) a n = 0

a n + 2 = ( n + 1 ) a n ( n + 1 ) ( n + 2 )

a n + 2 = a n n + 2

Veja que essa relação até mesmo nos indica que 2 a 2 - a 0 = 0 , basta substituir n = 0 !

Passo 7

Aplicando as condições iniciais na nossa solução, vamos encontrar isso aqui:

y 0 = a 0 =   2

e

y ' ( 0 ) = a 1 = 0

Agora, da relação de recorrência, você já vai tirar de letra que todo termo de índice ímpar é nulo!

Já os primeiros quatro termos, não-nulos, de índices pares vão ser

a 0 = 2

a 2 = a 0 0 + 2 = 2 2 = 1

a 4 = a 2 2 + 2 = 1 4

a 6 = a 4 4 + 2 = 1 4 6 = 1 24

Resposta

  1. O ponto x 0 = 0 de ordinário
  2. A relação de recorrência é

a n + 2 = a n ( n + 2 )

(c ) Os primeiros quatro termos não-nulos a 0 = 2 ,   a 2 = 1 ,   a 4 = 1 4 ,   a 6 = 1 24

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