Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

5. Determine todas as soluções da equação dada ao redor do ponto x = 0 nos casos

  a   y ' ' - 2 x y ' + 2 y = 0

Passo 1

Bem, é uma EDO com coeficientes não constantes, então vamos aplicar séries para resolver, vemos que x = 0 , que é o ponto em que se quer analisar a resposta, é um ponto ordinário. Aí a gente viu na teoria que para ponto ordinário podemos chutar a seguinte solução:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Derivando:

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2

Substituindo isso na EDO:

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 - 2 x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos com calma, primeiro passe o x que está no segundo somatório para dentro:

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 - 2 ∑ n = 1 ∞ n a n x n + 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

A primeira coisa a fazer sempre é deixar tudo com o mesmo expoente de x n , vemos que o primeiro somatório está com a cara de x n - 2 , o que devemos fazer é substituir n por n + 2 , mas substituía em tudo hein!

∑ n + 2 = 2 ∞ ( n + 2 ) ( n + 2 - 1 ) a n + 2 x n + 2 - 2

Sacou?! Vamos só ajeitar as contas:

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n

Então vamos voltar para o somatório, substituindo agora esse somatório que obtivemos agora:

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n - 2 ∑ n = 1 ∞ n a n x n + 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Eita que beleza! Mas ferrou, agora tem um cara começando em 1 e o resto começando em 0 ! Nesses casos, você sempre abre os somatórios que começam antes até o valor do somatório que começa com o maior valor. No caso, o somatório que começa com o maior valor é o do meio, porque ele começa em 1 e o resto em 0 , então vamos abrir os outros para começarem em 1 também!

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n = 2 a 2 + ∑ n = 1 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n

2 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 2 a 0 + 2 ∑ n = 1 ∞ a n x n

Substituindo isso:

2 a 2 + ∑ n = 1 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n - 2 ∑ n = 1 ∞ n a n x n + 2 a 0 + 2 ∑ n = 1 ∞ a n x n = 0

Opa! Agora que tudo está com o mesmo expoente e começando no mesmo valor, podemos juntar!

2 a 0 + 2 a 2 + ∑ n = 1 ∞ [ n + 2 n + 1 a n + 2 - 2 n a n + 2 a n ] x n = 0

Passo 3

Então ficou com essa cara aqui:

2 a 0 + 2 a 2 + ∑ n = 1 ∞ [ n + 2 n + 1 a n + 2 - 2 n a n + 2 a n ] x n = 0

Pelo princípio da identidade, isso só é igual a 0 se:

2 a 0 + 2 a 2 = 0 n + 2 n + 1 a n + 2 - 2 n a n + 2 a n = 0

Da primeira equação temos que:

a 2 = - a 0

Da segunda, nós temos que

a n + 2 = 2 n a n - 2 a n n + 2 n + 1

Arrumando mais um pouco:

a n + 2 = n - 1 n + 2 n + 1 2 a n   p a r a   n ≥ 1

Agora caímos na famosa relação de recorrência, né? Temos que achar uma forma geral pra ela, a gente só acha testando! Simbora:

n = 1 → a 3 = 1.1 - 1 ( 1 + 2 ) ( 1 + 1 ) 2 a 1 = 0 n = 2 → a 4 = 2 - 1 ( 2 + 2 ) ( 2 + 1 ) 2 a 2 = 1 2 + 2 2 + 1 2 - a 0 n = 3 → a 5 = 3 - 1 ( 3 + 2 ) ( 2 + 3 ) 2 a 3 = 0 n = 4 → a 6 = 4 - 1 4 + 2 4 + 1 2 a 4 = 3 4 + 2 4 + 1 1 2 + 2 2 + 1 2 2 - a 0 n = 5 → a 7 = 5 - 1 5 + 2 5 + 1 2 a 5 = 0 n = 6 → a 8 = 6 - 1 6 + 2 6 + 1 3 4 + 2 4 + 1 1 2 + 2 2 + 1 2 3 - a 0  

Eita, negócio não é fácil, mas vamos com calma. Percebeu que todo a n com n = p a r ficou referido a a 0 = 3 ? E Todo a n com n = í m p a r ficou 0 , pois o primeiro já era zero, e como os outros dependiam deste, ficaram 0 também. Repara que aparece um “quase” fatorial de n + 2 no denominador, com exceção do 2 . Por isso, vamos multiplicar em cima e em baixo por dois para completar o fatorial.

n = 2 → a 4 = 2 - 1 ( 2 + 2 ) ( 2 + 1 ) 2 a 2 = 1 3.2 - a 0 n = 4 → a 6 = 4 - 1 4 + 2 4 + 1 2 a 4 = 3 6.5 1 4.3 2 2 - a 0   a 6 = 1 5.3 . 2 - a 0 n = 6 → a 8 = 6 - 1 6 + 2 6 + 1 2 a 6 = 5 8.7 3 6.5 . 1 4.3 2 3 - a 0   a 8 = 1 7.4 . 3.2 - a 0

Assim, com a simplificação, temos para n par:

a 2 n = 1 2 n - 1 n ! - a 0 ,     n ≥ 2

Lá em cima, vimos que

a 2 = - a 0

Repara que essa fórmula não está incluindo o a 0 , mas ela também serve para essa relação do a 2 com o a 0 . Assim, podemos começar a nossa relação em n = 1

a 2 n = 1 2 n - 1 n ! - a 0 ,     n ≥ 1

Além disso, não podemos afirmar nada sobre a 1 , então vamos deixá-lo quietinho.

A resposta fica:

y x = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1 n ! - a 0 x 2 n + a 1 x

Resposta

y x = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1 n ! - a 0 x 2 n + a 1 x

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