Note que a equação diferencial 2 y ' ' x + 2 x - 5 x 2 y ' x - 2 y x = 0 possui um ponto ordinário em x 0 = 0 . Neste caso, determine a relação de recorrência para a solução em série da equação em torno deste ponto.

Marque a alternativa correta.

Escolha uma opção:

a) a n + 2 = 5 n - 1 a n - 1 + 3 1 - n a n 2 ( n + 2 ) ( n + 1 )

b) a n + 2 = 3 n - 1 a n - 1 + 1 - n a n 2 ( n + 2 ) ( n + 1 )

c) a n + 2 = 5 n - 1 a n - 1 + 2 1 - n a n 2 ( n + 2 ) ( n + 1 )

d) a n + 2 = 9 n - 1 a n - 1 + 4 - 5 n a n 2 ( n + 2 ) ( n + 1 )

e) a n + 2 = 2 n - 1 a n - 1 + 2 - 3 n a n 2 ( n + 2 ) ( n + 1 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma EDO de segunda ordem com coeficientes variáveis, isso quer dizer que nossa solução será por séries de potência. Como nossa EDO tem ponto ordinário x 0 = 0 , ela é centralizada em zero e podemos supor logo de cara que nossa solução tem a forma:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + …

Encontrando os a n ' s nós definimos y ( x ) . Dessa forma, para encontrar a relação de recorrência que a questão pede, vamos derivar y ( x ) duas vezes, substituir na EDO e verificar o valor dos coeficientes.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando y ( x ) :

y ' x = ∑ n = 0 ∞ a n x n ' = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

Derivando mais uma vez, temos:

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2

Substituindo na EDO 2 y ' ' x + 2 x - 5 x 2 y ' x - 2 y x = 0 , vamos ter:

2 ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 + 2 x - 5 x 2 ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 - 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Aplicando a distributiva no somatório do meio:

2 ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 + 2 x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 - 5 x 2 ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 - 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Podemos pegar esse x do lado de fora e passa-lo pra dentro, lembrando que x ∙ x n = x n + 1 . Logo,

2 ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 + 2 ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 5 ∑ n = 1 ∞ n a n x n + 1 - 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Passo 3

Precisamos juntar esses somatórios pra simplificar as coisas. Vamos começar deixando-os com a mesma potência de x , nesse caso, x n .

Para a primeira série:

2 ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2

Na prática, vamos somar 2 na frente de todo n no somatório:

2 ∑ n + 2 = 2 ∞ ( n + 2 ) ( n + 2 - 1 ) a n + 2 x n + 2 - 2 = 2 ∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n

Agora no terceiro somatório, vamos subtrair 1 na frente de todo n :

5 ∑ n - 1 = 1 ∞ ( n - 1 ) a n - 1 x n - 1 + 1 = 5 ∑ n = 2 ∞ ( n - 1 ) a n - 1 x n

E temos todo mundo com x n :

2 ∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n + 2 ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 5 ∑ n = 2 ∞ ( n - 1 ) a n - 1 x n - 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Passo 4

Agora vamos colocar essas quatro séries dentro de uma só. Para isso, vamos fazer os somatórios começarem em n = 2 , que é o maior valor nesse caso. O que nós vamos fazer é pegar as séries que estão diferentes e tirar os valores para n = 0 e n = 1 .

Fica assim:

2 2 a 2 + 6 a 3 x + ∑ n = 2 ∞ 2 ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n + 2 a 1 x + ∑ n = 2 ∞ 2 n a n x n - ∑ n = 2 ∞ 5 n - 1 a n - 1 x n - 2 a 0 - 2 a 1 x + ∑ n = 2 ∞ 2 a n x n = 0

Agora podemos juntar os somatórios colocando x n em evidência:

4 a 2 + 12 a 3 x + 2 a 1 x - 2 a 0 - 2 a 1 x + ∑ n = 2 ∞ x n 2 n + 2 n + 1 a n + 2 + 2 n a n - 5 n - 1 a n - 1 + 2 a n = 0

4 a 2 + 12 a 3 x - 2 a 0 + ∑ n = 2 ∞ x n 2 n + 2 n + 1 a n + 2 + 2 n a n - 5 n - 1 a n - 1 + 2 a n

Veja que temos um somatório de termos positivos que é igual a zero, logo, para essa igualdade ser satisfeita temos:

4 a 2 + 12 a 3 x - 2 a 0 = 0 2 n + 2 n + 1 a n + 2 + 2 n a n - 5 n - 1 a n - 1 + 2 a n = 0

Essa última equação é nossa relação de recorrência dos coeficientes. Colocando em função de a n + 2 temos:

2 n + 2 n + 1 a n + 2 + 2 n a n - 5 n - 1 a n - 1 + 2 a n = 0

2 n + 2 n + 1 a n + 2 = - 2 n a n + 5 n - 1 a n - 1 + 2 a n

a n + 2 = - 2 n a n + 5 n - 1 a n - 1 + 2 a n 2 n + 2 n + 1

Ou

a n + 2 = 5 n - 1 a n - 1 + ( 1 - n ) 2 a n 2 n + 2 n + 1

Que é a nossa alternativa (C).

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

c)

a n + 2 = 5 n - 1 a n - 1 + 2 1 - n a n 2 ( n + 2 ) ( n + 1 )

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