Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. pp. 135, exemplo 1

Encontre uma solução em série para a equação

y ' ' + y = 0

Passo 1

Como o problema não especifica, vamos solucionar o problema definindo y ( x ) como uma série centrada em x 0 = 0 , para simplificar as contas. Antes de tudo, precisamos verificar se o ponto x 0 é ordinário. Temos, nesse caso, P x = 1 ≠ 0 . Logo, qualquer ponto que escolhermos, inclusive x 0 = 0 é ordinário. Podemos usar o método aqui então.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos, então, definir:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2

Fazendo essas substituições na EDO , temos:

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Passo 3

Precisamos, agora, Igualar as potências de x , nesse caso, por x n . Temos:

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 = ∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n

Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice n (nesse caso, 2 ).

Passo 4

Como os somatórios já possuem o mesmo índice n = 0 , não precisamos mexer nisso. Basta, então, juntar os somatórios colocando x n em evidência.

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n + ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

∑ n = 0 ∞ [ n + 2 n + 1 a n + 2 + a n ] x n = 0

Passo 5

Como x n ≠ 0 , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero.

n + 2 n + 1 a n + 2 + a n = 0

Encontramos nossa relação de recorrência.

Passo 6

Vamos agora, calcular alguns a n ’s. Como o problema não nos dá informações iniciais sobre a 0 ou a 1 , vamos encontrar respostas em função desses valores.

para   n = 0       →       0 + 2 0 + 1 a 0 + 2   + a 0 = 0       →       a 2 = - a 0 2

para   n = 1       →       1 + 2 1 + 1 a 1 + 2   + a 1 = 0       →       a 3 = - a 1 3 ⋅ 2

para   n = 2       →       2 + 2 2 + 1 a 2 + 2   + a 2 = 0       →       a 4 = - a 2 4 ⋅ 3 = a 0 4 ⋅ 3 ⋅ 2

para   n = 3       →       3 + 2 3 + 1 a 3 + 2   + a 3 = 0       →       a 5 = - a 3 5 ⋅ 4 = a 1 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2

para   n = 4       →       4 + 2 4 + 1 a 4 + 2   + a 4 = 0       →       a 6 = - a 4 6 ⋅ 5 = - a 0 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2

Temos, portanto, sinais alternados para os índices pares e para os ímpares. Para os pares, podemos escrever o seguinte:

a 2 p = - 1 p 2 p ! a 0

Para p = 0 , temos a 0 = a 0

Para p = 1 , temos a 2 = - a 0 2 !

Para p = 2 , temos a 4 = a 0 4 !

Assim por diante. Para os ímpares, então, escrevemos o seguinte:

a 2 p + 1 = - 1 p 2 p + 1 ! a 1

Para p = 0 , temos a 1 = a 1

Para p = 1 , temos a 3 = - a 1 3 !

Assim por diante. Dica: nós podemos saber que a relação entre os termos é feita de 2 em 2 (termos pares e ímpares) por que a relação de recorrência associa termos a n a a n + 2 , portanto, com “ 2 n ' s de distância”.

Passo 7

Vamos, então, substituir na série de potências essas expressões para o a n .

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n = ∑ p = 0 ∞ a 2 p x 2 p + ∑ p = 0 ∞ a 2 p + 1 x 2 p + 1

= ∑ p = 0 ∞ - 1 p 2 p ! a 0 x 2 p + ∑ p = 0 ∞ - 1 p 2 p + 1 ! a 1 x 2 p + 1 =

Resposta

y x = ∑ p = 0 ∞ - 1 p 2 p ! a 0 x 2 p + ∑ p = 0 ∞ - 1 p 2 p + 1 ! a 1 x 2 p + 1

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