Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

Séries de Potências

Considere a equação diferencial y ' + 2 x y = x 2 , cuja solução buscaremos na forma de uma série de potências

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

(a) Ache os primeiros 7 termos da solução com condição inicial y 0 = 2 .

(b) Determine uma relação de recorrência entre os coeficientes.

Passo 1

(a) Primeiro, como temos y 0 = 2 achamos que

2 = y 0 = a 0

Para achar os outros termos, devemos substituir a série de potências na equação diferencial.

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

Portanto,

∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + 2 x ∑ n = 0 ∞ a n x n = x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok! Agora só trabalhar nessa equação e teremos nossa resposta.

Então, vamos lá!

∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + ∑ n = 0 ∞ 2 a n x n + 1 = x 2

Fazendo m = n - 1 ⇒ n = m + 1 no primeiro somatório e m = n + 1 ⇒ n = m - 1 no segundo, ficamos com

∑ m = 0 ∞ m + 1 a m + 1 x m + ∑ m = 1 ∞ 2 a m - 1 x m = x 2

⇒ a 1 + ∑ m = 1 ∞ m + 1 a m + 1 + 2 a m - 1 x m = x 2

⇒ a 1 + 2 a 2 x + 2 a 0 x + 3 a 3 x 2 + 2 a 1 x 2 + ∑ m = 3 ∞ m + 1 a m + 1 + 2 a m - 1 x m = x 2

Passo 3

Logo, temos que ter

a 0 = 2

a 1 = 0

2 a 2 + 2 a 0 = 0 ⇒ a 2 = - 2

3 a 3 + 2 a 1 = 1 ⇒ a 3 = 1 3

m + 1 a m + 1 + 2 a m - 1 = 0 ⇒ a m + 1 = - 2 a m - 1 m + 1 ,   m ≥ 3

Passo 4

Bom, já temos

a 0 = 2

a 1 = 0

a 2 = - 2

a 3 = 1 3

Para achar os outros usamos a fórmula de recorrência:

a 4 = - 2 a 2 4 = 1

a 5 = - 2 a 3 5 = - 2 15

a 6 = - 2 a 4 6 = - 2 6 = - 1 3

Passo 5

(b) Já achamos a relação de recorrência no item anterior, ela é:

a m + 1 = - 2 a m - 1 m + 1

Resposta

(a)

a 0 = 2

a 1 = 0

a 2 = - 2

a 3 = 1 3

a 4 = 2 a 2 4 = 1

a 5 = 2 a 3 5 = - 2 15

a 6 = 2 a 4 6 = - 2 6 = - 1 3

(b)

a m + 1 = 2 a m - 1 m + 1

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