Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. pp. 140, exercício 9

Nos problema de 1 a 14, resolva a equação diferencial dada através de uma série de potências em torno do ponto x 0 dado. Encontre a relação de recorrência; encontre também os quatro primeiros termos em cada uma das suas soluções linearmente independentes (a menos que a série termine antes). Se possível, encontre o termo geral em cada solução.

1 + x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 0

x 0 = 0

Passo 1

Como o problema pede, vamos solucionar o problema definindo y ( x ) como uma série centrada em x 0 = 0 . Antes de tudo, precisamos verificar se o ponto x 0 é ordinário. Temos, nesse caso, P x = 1 + x 2 e P 0 = 1 ≠ 0 Logo, x 0 = 0 é ordinário, podemos usar o método aqui então.

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Passo 2

Vamos, então, definir:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2

Fazendo essas substituições na EDO, temos:

1 + x 2 ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 - 4 x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + 6 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

1 ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 + x 2 ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 - 4 x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + 6 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Colocando os valores de x para dentro do somatório

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 + ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 4 ∑ n = 1 ∞ n a n x n + 6 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Passo 3

Precisamos, agora, igualar as potências de x por x n . A única potencia que não está x n é a

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2

Temos:

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 = ∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n

Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice n (nesse caso, 2 ).

Temos, então:

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n + ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 4 ∑ n = 1 ∞ n a n x n + 6 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Passo 4

Agora devemos igualar os índices dos somatórios pelo maior (nesse caso n = 2 ), colocando para fora do somatório os termos correspondentes aos índices anteriores.

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n = 2 a 2 + 6 a 3   x + ∑ n = 2 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n

Como o somatório deve passar a começar em n = 2 , colocamos para fora os termos correspondentes a n = 0 e n = 1 . Vamos fazer o mesmo as outras séries:

∑ n = 1 ∞ n a n x n = a 1 x + ∑ n = 2 ∞ n a n x n

∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + ∑ n = 2 ∞ a n x n

Temos, então:

2 a 2 + 6 a 3   x + ∑ n = 2 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n + ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 4 a 1 x + ∑ n = 2 ∞ n a n x n + 6 a 0 + a 1 x + ∑ n = 2 ∞ a n x n = 0

Passo 5

Vamos, então, juntar os somatórios colocando x n em evidência e agrupar os termos “soltos”.

2 a 2 + 6 a 3   x + ∑ n = 2 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n + ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 4 a 1 x - 4 ∑ n = 2 ∞ n a n x n + 6 a 0 + 6 a 1 x + 6 ∑ n = 2 ∞ a n x n = 0

( 2 a 2 + 6 a 0 ) + ( 6 a 3 - 4 a 1 + 6 a 1 ) x + ∑ n = 2 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n + ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 4 ∑ n = 2 ∞ n a n x n + 6 ∑ n = 2 ∞ a n x n = 0

( 2 a 2 + 6 a 0 ) + ( 6 a 3 + 2 a 1 ) x + ∑ n = 2 ∞ [ n + 2 n + 1 a n + 2 + n n - 1 a n - 4 n a n + 6 a n ] x n = 0

( 2 a 2 + 6 a 0 ) + ( 6 a 3 + 2 a 1 ) x + ∑ n = 2 ∞ [ n + 2 n + 1 a n + 2 + n 2 - n - 4 n + 6 a n ] x n = 0

( 2 a 2 + 6 a 0 ) + ( 6 a 3 + 2 a 1 ) x + ∑ n = 2 ∞ [ n + 2 n + 1 a n + 2 + n 2 - 5 n + 6 a n ] x n = 0

Passo 6

Como x n ≠ 0 , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero.

[ n + 2 n + 1 a n + 2 + n 2 - 5 n + 6 a n ] = 0

Os coeficientes de cada termo “solto”, fora do somatório também devem ser zero.

2 a 2 + 6 a 0 = 0       →       a 2 = - 3 a 0

6 a 3 + 2 a 1 = 0       →       a 3 = - a 1 3

Encontramos nossa relação de recorrência.

Passo 7

Vamos agora, calcular alguns a n ’s.

Nós podemos saber que a relação entre os termos é feita de 2 em 2 por que a relação de recorrência associa termos a n a a n + 2 , mas aqui nem precisaremos disso, veja:

para   n = 0       →       0 + 2 0 + 1 a 0 + 2 + 0 2 - 5 ⋅ 0 + 6 a 0 = 0       →       a 2 = - 3 a 0

para   n = 1       →       1 + 2 1 + 1 a 1 + 2 + 1 2 - 5 ⋅ 1 + 6 a 1       = 0       →       a 3 = - a 1 3

para   n = 2       →       2 + 2 2 + 1 a 2 + 2 + 2 2 - 5 ⋅ 2 + 6 a 2 = 0         →       a 4 = 0

para   n = 3       →       3 + 2 3 + 1 a 3 + 2 + 3 2 - 5 ⋅ 3 + 6 a 3       = 0       →       a 5 = 0

para   n = 4       →       4 + 2 4 + 1 a 4 + 2 + 4 2 - 5 ⋅ 4 + 6 a 4 = 0           →       a 6 = 0

Daí em diante, todos os termos serão iguais a zero, pois a sua expressão depende de outro termo anterior que é zero. Portanto, a série é finita.

Passo 8

Vamos, então, substituir na série de potências essas expressões para o a n .

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3

Substituindo as expressões que encontramos para os a n ’s, termos

y x = a 0 + a 1 x - 3 a 0 x 2 - a 1 x 3 3

Resposta

y x = a 0 + a 1 x - 3 a 0 x 2 - a 1 x 3 3

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