Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

Solução de EDO em série – ponto ordinário

A seguinte equação, chamada equação de Hermite, tem papel importante na teoria da mecânica quântica

y ' ' + x - 1 y ' + y = 0

  1. Encontre a fórmula de recorrência para os coeficientes da solução em série de potências centrada en x = 1 .
  2. Mostre que a solução geral está definida para todo x ∈ R .
  3. Calcule lim x → ∞ ⁡ y 0 ( x ) , onde y 0 ( x ) é a solução satisfazendo y 1 = 1 ,   y ' 1 = 0 . (Sugestão: use que 2 n n ! = 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ ∙ ∙ 2 n .)

Passo 1

Letra a)

Vamos, então, definir:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n ( x - 1 ) n

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n a n ( x - 1 ) n - 1

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n ( x - 1 ) n - 2

Fazendo essas substituições na EDO, temos:

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n ( x - 1 ) n - 2 + x - 1 ∑ n = 1 ∞ n a n ( x - 1 ) n - 1 + ∑ n = 0 ∞ a n ( x - 1 ) n = 0

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n ( x - 1 ) n - 2 + ∑ n = 1 ∞ n a n ( x - 1 ) n + ∑ n = 0 ∞ a n ( x - 1 ) n = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Precisamos, agora, igualar as potências de x por ( x - 1 ) n . Temos:

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n ( x - 1 ) n - 2 = ∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 ( x - 1 ) n

Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice n , no caso, 2 .

Temos, então:

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 ( x - 1 ) n + ∑ n = 1 ∞ n a n ( x - 1 ) n + ∑ n = 0 ∞ a n ( x - 1 ) n = 0

Passo 3

Agora devemos igualar os índices dos somatórios pelo maior (nesse caso n = 1 ), colocando para fora do somatório os termos correspondentes aos índices anteriores.

2 a 2 + ∑ n = 1 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x - 1 n + ∑ n = 1 ∞ n a n x - 1 n + a 0 + ∑ n = 1 ∞ a n x - 1 n = 0

Como o somatório deve passar a começar em n = 1 , colocamos para fora o termo correspondente a n = 0 .

Passo 4

Vamos, então, juntar os somatórios colocando ( x - 1 ) n em evidência e agrupar os termos “soltos”.

2 a 2 + a 0 + ∑ n = 1 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 + n a n + a n x - 1 n = 0

2 a 2 + a 0 + ∑ n = 1 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 + ( n + 1 ) a n x - 1 n = 0

Passo 5

Como ( x - 1 ) n ≠ 0 , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero.

n + 2 n + 1 a n + 2 + ( n + 1 ) a n = 0

a n + 2 = - a n n + 2

Os coeficientes de cada termo “solto”, fora do somatório também devem ser zero.

2 a 2 + a 0 = 0       →       a 2 = - a 0 2

Portanto, a relação que encontramos para todo n ≥ 0 , repara que a relação de recorrência funcionad para a 2 .

Passo 6

Letra b)

Como os coeficientes da EDO são polinômios (funções com Séries de Taylor com raio de convergência infinito), sabemos que a solução y também tem raio de convergência infinito. Assim, a solução geral está definida para todo x ∈ R .

Passo 7

Letra c)

Essas condições iniciais nos dão que

y 1 = a 0 = 1

y ' 1 = a 1 = 0

Nós temos que

a n + 2 = - a n n + 2

Isso nos dá

a 3 = a 5 = a 7 … = 0

Ou seja, todos os coeficientes de índice impar são zero.

a 2 P + 1 = 0

Para os pares, nós temos:

a 2 = - 1 2

a 4 = - - 1 2 4 = 1 8   = 1 2 ∙ 4

a 6 = - 1 8 6 = - 1 48 = - 1 2 ∙ 4 ∙ 6

Temos então

a 2 P = - 1 p 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ ∙ ∙ 2 P = - 1 p 2 P P !

Passo 8

Assim, a solução geral é a seguinte:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n ( x - 1 ) n = ∑ P = 0 ∞ a 2 P + 1 ( x - 1 ) 2 P + 1 ⏟ 0 + ∑ P = 0 ∞ a 2 P ( x - 1 ) 2 P

y x = ∑ P = 0 ∞ - 1 p 2 P P ! ( x - 1 ) 2 P

y x = ∑ P = 0 ∞ 1 P ! - 1 x - 1 2 2 P

Agora, lembra disso aqui:

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Aplicando à nossa questão

y x = e - 1 x - 1 2 2

Passo 9

Temos então

lim x → ∞ ⁡ y 0 ( x ) = lim x → ∞ ⁡ e - 1 x - 1 2 2 = 0

Resposta

  1. a n + 2 = - a n n + 2
  2. Como os coeficientes da EDO são polinômios (funções com Séries de Taylor com raio de convergência infinito), sabemos que a solução y também tem raio de convergência infinito. Assim, a solução geral está definida para todo x ∈ R .
  3. 0

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