Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

Solução de EDO em série – ponto ordinário

Considere a equação diferencial

x 2 + 3 y ' ' - 7 x y ' + 16 y = 0 ,       x > 0

( a ) Mostre que x = 0 é ponto ordinário.

( b ) Determine a fórmula de recorrência da solução em série da equação.

( c ) Determine os quatro primeiros termos não nulos de cada uma das soluções linearmente independentes.

Passo 1

( a )   O primeiro passo é verificar que que x = 0 é um ponto ordinário. Já que P x = x 2 + 3 e P 0 = 3 ≠ 0 , então ele é de fato ordinário.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

( b )   Vamos buscar uma solução em série para esta equação. Assim, admitimos uma função analítica com as seguintes características:

f x = ∑ n = 0 ∞ c n   x n

f ' x = ∑ n = 1 ∞ c n   n x n - 1

f ' ' x = ∑ n = 2 ∞ c n   n ( n - 1 ) x n - 2

Passo 3

Vamos, agora, introduzir as fórmulas na equação:

x 2 + 3 y ' ' - 7 x y ' + 16 y = 0

x 2 + 3 ∑ n = 2 ∞ c n   n n - 1 x n - 2 - 7 x ∑ n = 1 ∞ c n   n x n - 1 + 16 ∑ n = 0 ∞ c n   x n = 0

Assim, vamos colocar todos os x e coeficientes para dentro dos somatórios.

∑ n = 2 ∞ c n   n n - 1 x n + ∑ n = 2 ∞ 3 c n   n n - 1 x n - 2 - ∑ n = 1 ∞ 7 c n   n x n + ∑ n = 0 ∞ 16 c n   x n = 0

Passo 4

E vamos deixar sempre x n dentro. Para isso, necessitamos fazer um deslocamento no índice do segundo somatório.

∑ n = 2 ∞ 3 c n   n ( n - 1 ) x n - 2 = ∑ n = 0 ∞ 3 c n + 2   ( n + 2 ) ( n + 1 ) x n

Logo:

∑ n = 2 ∞ c n   n n - 1 x n + ∑ n = 0 ∞ 3 c n + 2   ( n + 2 ) ( n + 1 ) x n - ∑ n = 1 ∞ 7 c n   n x n + ∑ n = 0 ∞ 16 c n   x n = 0

Passo 5

Agora, vamos deixar todos os somatórios a partir do maior valor inicial de n   ( n = 2 ), tirando os termos que sobram do somatório:

∑ n = 2 ∞ c n   n ( n - 1 ) x n   :     O k ! = )

∑ n = 0 ∞ 3 c n + 2   ( n + 2 ) ( n + 1 ) x n = 3 c 2 . 2.1 + 3 c 3 . 3.2 . x + ∑ n = 2 ∞ 3 c n + 2   ( n + 2 ) ( n + 1 ) x n

∑ n = 1 ∞ 7 c n n   x n = 7 c 1 . 1 . x + ∑ n = 2 ∞ 7 c n   n   x n

∑ n = 0 ∞ 16 c n   x n = 16 c 0 + 16 c 1 . x + ∑ n = 2 ∞ 16 c n   x n

Assim, fica:

∑ n = 2 ∞ c n   n n - 1 x n + 3 c 2 . 2.1 + 3 c 3 . 3.2 . x + ∑ n = 2 ∞ 3 c n + 2   ( n + 2 ) ( n + 1 ) x n - 7 c 1 . 1 . x + ∑ n = 2 ∞ 7 c n   n   x n + 16 c 0 + 16 c 1 . x + ∑ n = 2 ∞ 16 c n   x n = 0

E podemos juntar os somatórios:

6 c 2 + 18 c 3 x + 9 c 1 x + 16 c 0 + ∑ n = 2 ∞ c n   n   n - 1 + 3 c n + 2   n + 2 n + 1 - 7 c n n + 16 c n   x n = 0

Passo 6

Mas como x n ≠ 0 , teremos

c n   n   n - 1 + 3 c n + 2   n + 2 n + 1 - 7 c n n + 16 c n = 0

De onde obtemos a relação de recorrência:

3 c n + 2   n + 2 n + 1 + c n   n   n - 1 - 7 n + 1 6 = 0

3 c n + 2   n + 2 n + 1 = - c n   n 2 - 8 n + 1 6

c n + 2   = - c n   n - 4 2 3 n + 2 n + 1

Esta fórmula é válida para n ≥ 0 , onde c 0 e c 1 são constantes do problema.

Passo 7

( c ) Vamos obter, agora, as duas séries que compõem as soluções linearmente independentes, uma começando em c 0 e outra em c 1 .

y x = ∑ n = 0 ∞ c n   x n

y x = c 0 + c 2 x 2 + c 4 x 4 + … ⏟ y 1 ( x ) + c 1 x + c 3 x 3 + c 5 x 5 + … ⏟ y 2 ( x )

Assim, teremos:

y 1 x = ∑ k = 0 ∞ c 2 k   x 2 k

y 2 x = ∑ k = 0 ∞ c 2 k + 1   x 2 k + 1

Desta forma, quando k varia em uma unidade, estamos pulando os termos de dois em dois, percebeu?

Passo 8

Show, vamos achar c 2 k e c 2 k + 1 agora!

Para c 2 k ( k ≥ 1 ), temos:

c 2   = - c 0   0 - 4 2   3 0 + 2 0 + 1 = 1 6 3.2 c 0 = - 8 3 c 0

c 4   = - c 2   2 - 4 2   3 2 + 2 2 + 1 = - 4 3.4 . 3 c 2 = - 1 9 c 2 = 8 27 c 0

c 6   = - c 4   4 - 4 2   3 4 + 2 ( 4 + 1 ) = 0

c 8 = c 10 = … = 0

Assim, escrevemos:

y 1 x = c 0 + c 2 x 2 + c 4 x 4

y 1 x = c 0 - 8 3 c 0 x 2 + 8 27 c 0 x 4

y 1 x = c 0 1 - 8 3 x 2 + 8 27 x 4

Note que neste caso a série tornou-se um polinômio!!

Passo 9

Para c 2 k + 1 ( k ≥ 1 ), devemos ter algo parecido...

c 3   = - c 1   1 - 4 2   3 1 + 2 1 + 1 = - 9 3.3 . 2 c 1 = - 1 2 c 1

c 5   = - c 3   3 - 4 2   3 3 + 2 3 + 1 = - 1 3.5 . 4 c 3 = - 1 60 c 3 = 1 120 c 1

c 7   = - c 5   5 - 4 2   3 5 + 2 5 + 1 = - 1 3.7 . 6 c 5 = - 1 126 c 5 = - 1 15120 c 1

Assim, escrevemos:

y 2 x = c 1 x + c 3 x 3 + c 5 x 5 + c 7 x 7 + …

y 2 x = c 1 x - 1 2 c 1 x 3 + 1 120 c 1 x 5 - 1 15120 c 1 x 7 + …

y 2 x = c 1 x - 1 2 x 3 + 1 120 x 5 - 1 15120 x 7 + …

Resposta

b c n + 2   = - c n   n - 4 2 3 n + 2 n + 1 ,     n ≥ 0

( c ) y 1 x = c 0 1 - 8 3 x 2 + 8 27 x 4 ; y 2 x = c 1 x - 1 2 x 3 + 1 120 x 5 - 1 15120 x 7 + …

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas