8) Qual das séries abaixo representa uma solução para

y ' ' - x y - y = 0 ,   x ∈ R ,

Com as condições iniciais: y 0 = 0 e y ' 0 = 1 ?

Passo 1

Falaaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos resolver essa equação diferencial por série de potências.

A primeira coisa que fazemos é supor uma solução beeem geral, na forma de série de potência centralidade em x 0 = 0 (as condições iniciais são dadas nesse ponto).

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + …

Depois disso vamos substituir na equação diferencial e tals...

Daí vamos fazendo as manipulações necessárias até conseguir identificar bonitinho qual é a série que representa a solução.

Vamo botar a mão na massa...

Passo 2

Bom... o y nós já supomos que seja:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 …

Mas tem a segunda derivada na equação diferencial. Derivando y ( x ) :

y ' x = ∑ n = 0 ∞ a n x n '

= a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 … '

= a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2 + …

Que fica:

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

E derivando, de novo, pra achar a segunda derivada:

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2

Repara que sempre que derivamos o termo que é constante some (já que derivada de constante é zero), daí o número de termos no somatório diminui 1. Por isso o n embaixo do somatório vai aumentando.

Passo 3

Substituindo as séries na equação diferencial:

y ' ' - x y - y = 0

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 - x ∑ n = 0 ∞ a n x n - ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Passando o x pra dentro do somatório, ficamos com:

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 - ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Ta mais ou menos bonitinho, né? Mas precisamos deixar os somatórios começando e terminando no mesmo lugar.

Repara que pra segunda derivada temos que adicionar mais 2 termos, certo? Já que derivamos duas vezes. Então em todo lugar que tiver n a gente substitui por n + 2

∑ n + 2 = 2 ∞ n + 2 n + 2 - 1 a n + 2 x n + 2 - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n + ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Agora conseguimos colocar tudo num somatório só:

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 n + 1 a n + 2 + a n   ) x n = 0

Concorda que podemos escrever 0 como somatório de vários zeros?? Então:

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 n + 1 a n + 2 + a n   ) x n = ∑ n = 0 ∞ 0 x n

Se duas séries são iguais, então os seus termos também são iguais:

n + 2 n + 1 a n + 2 + a n = 0

Daí tiramos a relação de recorrência:

a n + 2 = - a n n + 2 n + 1

Passo 4

Usando as condições de contorno conseguimos mais algumas informações que pode ajudar.

Para y 0 = 0 , temos:

y 0 = a 0 + a 1 0 + …

a 0 = 0

Para y ' 0 = 1 , temos:

y ' 0 = a 1 + a 2 0 + …

a 1 = 1

Passo 5

Usando a relação de recorrência, vamos testar alguns valores pra tentar achar um padrão...

- para n = 0 :

a 2 = - a 0 2 1

a 2 = 0

- para n = 1 :

a 3 = - a 1 3 2

a 3 =   - 1 3 2

- para n = 2 :

a 4 = - a 2 4 3

a 4 = 0

- para n = 3 :

a 5 = - a 3 5 4

a 5 = - - 1 3 2 5 4

a 5 = 1 5 4 3 2

- para n = 4 :

a 6 = - a 4 6 5 4 3 2

a 6 = 0

- para n = 5 :

a 7 =   - a 5 7 6

a 7 = - 1 5 4 3 2 7 6

a 7 = - 1 7 6 5 4 3 2

Ohhh... dá pra notar um padrãozinho, né?

Quando n   é par, a n = 0

Mas quando n é ímpar a n é diferente de zero.

Passo 6

Lembra que quando queremos representar somente os números pares usamos n = 2 p e quando queremos só representar os números ímpares usamos n = 2 p + 1 .

Repara também que o sinal de menos vai alternando entre um termo ��mpar e o próximo ímpar. Daí vai aparecer um - 1 p .

E na parte de baixo da fração temos um bendito fatorial.

Pegando somente os termos ímpares:

c 2 p + 1 = - 1 p 1 2 p + 1 !  

Substituindo o p por n só pra ficar bonitinho:

c 2 n + 1 = - 1 n 1 2 n + 1 !

Botando lá no somatório:

y = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 !

Resposta

y = x + ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 1 2 n - 1 2 n - 3 … 3 1 x 2 n + 1

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