Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

Séries de potências, Séries de Taylor

Considere a equação diferencial 1 + x 2 y ' ' + x y ' - y = 0 , cuja solução buscaremos na forma de uma série de potências

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

  1. Ache os primeiros 7 termos da solução com condição inicial y 0 = 1 , y ' 0 = 1 .
  2. Determinea solução geral da equação diferencial.
  3. Determine todas as condições iniciais y 0 , y ' 0 , tais que a solução correspondente é uma função par (isto é, y x = y - x , para todo x ).

Passo 1

a)

A nossa missão aqui é resolver a equação diferencial dada y ' ' + x 2 y ' ' + x y ' - y = 0 , sabendo que:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Então precisaremos calcular y ' ( x ) e y ' ' x :

y ' x = ∑ n = 1 ∞ a n n x n - 1

E

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ a n n n - 1 x n - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que temos os termos necessários, vamos reescrever a equação diferencial com eles:

∑ n = 2 ∞ a n n n - 1 x n - 2 + x 2 ∑ n = 2 ∞ a n n n - 1 x n - 2 + x ∑ n = 1 ∞ a n n x n - 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Desenvolvendo:

∑ n = 2 ∞ a n n n - 1 x n - 2 + ∑ n = 2 ∞ a n n n - 1 x n + ∑ n = 1 ∞ a n n x n - ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Passo 3

Agora temos que deixar todos os x n dentro dos somatórios, mudando o seu índice. Começando com

∑ n = 2 ∞ a n n n - 1 x n - 2 ⇒ ∑ n = 0 ∞ a n + 2 n + 2 n + 1 x n

Esse era o único que precisava se mudado.

Passo 4

A nossa EDO vai ficar

∑ n = 0 ∞ a n + 2 n + 2 n + 1 x n + ∑ n = 2 ∞ a n n n - 1 x n + ∑ n = 1 ∞ a n n x n - ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Precisamos deixar todos os inícios no mesmo lugar agora, vamos começar todas com n = 2 .

Vamos ter

2 a 2 + 6 a 3 x + ∑ n = 2 ∞ a n + 2 n + 2 n + 1 x n + ∑ n = 2 ∞ a n n n - 1 x n + a 1 x + ∑ n = 2 ∞ a n n x n - a 0 - a 1 x - ∑ n = 2 ∞ a n x n = 0

Juntando os somatórios temos

2 a 2 + 6 a 3 x + a 1 x - a 0 - a 1 x + ∑ n = 2 ∞ a n + 2 n + 2 n + 1 + a n n n - 1 + a n n - a n x n = 0

2 a 2 - a 0 + 6 a 3 x + ∑ n = 2 ∞ a n + 2 n + 2 n + 1 + a n n n - 1 + a n n - a n x n = 0

Isso nos diz que

2 a 2 - a 0 = 0

6 a 3 = 0

Além disso tiramos a relação de recorrência

a n + 2 n + 2 n + 1 + a n n n - 1 + a n n - a n = 0

Vamos ter

a n + 2 = a n 1 - n n - 1 - n n + 2 n + 1

a n + 2 = a n 1 - n 2 + n - n n + 2 n + 1

a n + 2 = a n 1 - n 2 n + 2 n + 1

a n + 2 = a n 1 - n 1 + n n + 2 n + 1

a n + 2 = - a n n - 1 n + 2

Isso com n = 2,3 , 4,5 …

Passo 5

Vamos achar agora os primeiros temos da função com as condições iniciais que ele deu,

y 0 = 1 ⇒ a 0 = 1

y ' 0 = 1 ⇒ a 1 = 1

Agora temos as relações

2 a 2 - a 0 = 0

6 a 3 = 0

a n + 2 = - a n n - 1 n + 2

Com n = 2,3 , 4,5 …

Com as duas primeiras temos

a 2 = a 0 2 = 1 2

a 3 = 0

Vamos agora usar a relação de recorrência

n = 2 ⇒ a 4 = - a 2 4 = - 1 4 1 2 = - 1 8

n = 3 ⇒ a 5 = - 2 a 3 5 = - 2 5 0 = 0

n = 4 ⇒ a 6 = - 3 a 4 6 = - 3 6 1 8 = 3 48 = 1 16

Achamos os 7 primeiros termos que ele pediu.

a 0 = 1

a 1 = 1

a 2 = 1 2

a 3 = 0

a 4 = - 1 8

a 5 = 0

a 6 = 1 16

Passo 6

b)

Vamos agora achar a relação de recorrência agora sem as condições iniciais.

2 a 2 - a 0 = 0

6 a 3 = 0

a n + 2 = - a n n - 1 n + 2

Temos

a 2 = a 0 2

a 3 = 0

Agora para a relação de recorrência,

n = 2 ⇒ a 4 = - a 2 4 = - 1 4 a 0 2 = - a 0 4 ∙ 2

n = 3 ⇒ a 5 = - 2 a 3 5 = - 2 5 0 = 0

n = 4 ⇒ a 6 = - 3 a 4 6 = - 3 6 - a 0 8 = 3 a 0 6 ∙ 4 ∙ 2

n = 5 ⇒ a 7 = - a 5 6 = 0

n = 6 ⇒ a 8 = - 5 a 6 8 = - 5 8 3 a 0 6 ∙ 4 ∙ 2 = - 5 ∙ 3 a 0 8 ∙ 6 ∙ 4 ∙ 2

n = 7 ⇒ a 7 = - a 5 6 = 0

n = 8 ⇒ a 10 = - 7 a 8 10 = - 7 10 - 5 ∙ 3 a 0 8 ∙ 6 ∙ 4 ∙ 2 = 7 ∙ 5 ∙ 3 a 0 10 ∙ 8 ∙ 6 ∙ 4 ∙ 2

n = 9 ⇒ a 7 = - a 5 6 = 0

n = 10 ⇒ a 12 = - 9 a 10 12 = - 9 12 7 ∙ 5 ∙ 3 a 0 10 ∙ 8 ∙ 6 ∙ 4 ∙ 2 = - 9 ∙ 7 ∙ 5 ∙ 3 a 0 12 ∙ 10 ∙ 8 ∙ 6 ∙ 4 ∙ 2

Assim conseguimos perceber que os termos ímpares menos o a 1 vão ser todos 0 , assim temos

a 2 k + 1 = a 1 s e k = 0 0 s e k = 1,2 , 3 …

Passo 7

Vamos agora achar a relação dos termos pares, vamos escrever o que achamso aqui

a 2 = a 0 2

a 4 = - a 0 4 ∙ 2

a 6 = 3 a 0 6 ∙ 4 ∙ 2

a 8 = - 5 ∙ 3 a 0 8 ∙ 6 ∙ 4 ∙ 2

a 10 = 7 ∙ 5 ∙ 3 a 0 10 ∙ 8 ∙ 6 ∙ 4 ∙ 2

a 12 = - 9 ∙ 7 ∙ 5 ∙ 3 a 0 12 ∙ 10 ∙ 8 ∙ 6 ∙ 4 ∙ 2

Vamos achar o padrão no denominador e no numerador e depois juntar as coisas.

Começando com o denominador, podemos perceber que temos sempre o produto de pares em sequência, assim podemos colocar o 2 em evidência, e escrever os termos assim

a 2 ⇒ 2 1 ∙ 1

a 4 ⇒ 2 2 ∙ 2 ∙ 1

a 6 ⇒ 2 3 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1

a 8 ⇒ 2 4 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1

a 10 ⇒ 2 5 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1

a 12 ⇒ 2 6 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1

Isso mostra um padrão no denominador, sempre vai ser 2 elevado a n / 2 , multiplicado por n / 2 fatorial.

Assim vai ficar

2 n / 2 n / 2 !

Isso ta certinho e vale para qualquer valor de n .

Passo 8

Agora vamos olhar o numerador, repara que em cada um tem o produto de números ímpares em sequência certo? Para aparecer um fatorial ali vamos precisar completar os buracos do fatorial.

Vamos ver cada numerador como fazemos isso e depois tentar encontrar o padrão

a 2 ⇒ 1

a 4 ⇒ - 1

a 6 ⇒ 3 ∙ 2 2 = 3 ! 2

a 8 ⇒ - 5 ∙ 3 = - 5 ∙ 4 4 ∙ 3 ∙ 2 2 = - 5 ! 4 ∙ 2

a 10 ⇒ 7 ∙ 5 ∙ 3 = 7 ∙ 6 6 ∙ 5 ∙ 4 4 ∙ 3 ∙ 2 2 = 7 ! 6 ∙ 4 ∙ 2

a 12 ⇒ - 9 ∙ 7 ∙ 5 ∙ 3 = - 9 ∙ 8 8 ∙ 7 ∙ 6 6 ∙ 5 ∙ 4 4 ∙ 3 ∙ 2 2 = - 9 ! 8 ∙ 6 ∙ 4 ∙ 2

Opa, o primeiro padrão que percebemos é que o sinal vai trocando, começando positivo, assim garantimos que temos

- 1 n 2 + 1

Coloquei n / 2 para conseguir uma fórmula para ir mudando já que n é sempre par.

Outra coisa que podemos perceber é que o fatorial tem uma relação direta com o valor de n , é sempre n - 3 .

Por enquanto temos

- 1 n 2 + 1 n - 3 !

Por último vemos uma divisão pelo produto de caras pares, que podemos fazer que nem a outra parada, de colocar os 2 em evidência.

a 2 ⇒ 1

a 4 ⇒ - 1

a 6 ⇒ 3 ∙ 2 2 = 3 ! 2 1 ∙ 1

a 8 ⇒ 5 ∙ 3 = 5 ∙ 4 4 ∙ 3 ∙ 2 2 = 5 ! 2 2 ∙ 2 ∙ 1

a 10 ⇒ 7 ∙ 5 ∙ 3 = 7 ∙ 6 6 ∙ 5 ∙ 4 4 ∙ 3 ∙ 2 2 = 7 ! 2 3 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1

a 12 ⇒ 9 ∙ 8 8 ∙ 7 ∙ 6 6 ∙ 5 ∙ 4 4 ∙ 3 ∙ 2 2 = 9 ! 2 4 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1

Aparece fatoriais de novo ali embaixo, de novo com um padrão, onde vai ser a metade de n - 4 .

Assim vamos ter o numerador sendo

- 1 n 2 + 1 n - 3 ! 2 n - 4 2 n - 4 2 !

Repara que isso so vale para n ≥ 4 , assim vamos definir o numerador com essa fórmula só a partir do 4 .

Passo 9

Agora vamos juntar as duas coisas, vamos ter

a n = - 1 n 2 + 1 n - 3 ! 2 n - 4 2 n - 4 2 ! 2 n / 2 n / 2 ! a 0

Com n = 4,6 , 8 …

Com n = 0,2 vamos ter

a 0 = a 0

a 2 = a 0 2

Isso ta muito feio mesmo, nada muito claro nas contas uma coisa horrível, vamos trocar esse n por 2 k para deixar mais claro

a 2 k = - 1 k + 1 2 k - 3 ! 2 2 k - 4 2 2 k - 4 2 ! 2 k k ! a 0

a 2 k = - 1 k + 1 2 k - 3 ! 2 k - 2 k - 2 ! 2 k k ! a 0

a 2 k = - 1 k + 1 2 k - 3 ! 2 2 k - 2 k ! k - 2 ! a 0

Com k = 2,3 , 4 …

Assim a solução da EDO vai ser

y x = a 0 + a 1 x + a 0 x 2 2 + a 0 ∑ k = 2 ∞ - 1 k + 1 2 k - 3 ! 2 2 k - 2 k ! k - 2 ! x 2 k

Passo 10

c)

Vamos começar achando y 0 e y ' 0 , com a resposta da letra b, para ver o que temos

y 0 = a 0

Para y ' 0 vamos achar primeiro a derivada de y x

y ' x = a 1 + a 0 x + a 0 ∑ k = 2 ∞ - 1 k + 1 2 k 2 k - 3 ! 2 2 k - 2 k ! k - 2 ! x 2 k - 1

Agora

y ' 0 = a 1

Beleza, agora vamos tentar entender o que ele pediu, que a função seja par. Vamos fazer y - x e ver o que temos

y - x = a 0 + a 1 - x + a 0 - x 2 2 + a 0 ∑ k = 2 ∞ - 1 k + 1 2 k - 3 ! 2 2 k - 2 k ! k - 2 ! - x 2 k

Temos

y - x = a 0 - a 1 x + a 0 x 2 2 + a 0 ∑ k = 2 ∞ - 1 k + 1 2 k - 3 ! 2 2 k - 2 k ! k - 2 ! x 2 k

Queremos que isso seja igual a y x assim

a 0 - a 1 x + a 0 x 2 2 + a 0 ∑ k = 2 ∞ - 1 k + 1 2 k - 3 ! 2 2 k - 2 k ! k - 2 ! x 2 k = a 0 + a 1 x + a 0 x 2 2 + a 0 ∑ k = 2 ∞ - 1 k + 1 2 k - 3 ! 2 2 k - 2 k ! k - 2 ! x 2 k

Para esses dois polinômios serem iguais precisamos que a 1 seja 0 porque é a única coisa diferente, além disso a 0 pode ser qualquer valor.

Assim y 0 , que é a 0 , pode ser qualquer real, e y ' 0 , que é a 1 , precisa ser 0

y 0 ∈ R

y ' 0 = 0

Resposta

a)

a 0 = 1

a 1 = 1

a 2 = 1 2

a 3 = 0

a 4 = - 1 8

a 5 = 0

a 6 = 1 16

b)

y x = a 0 + a 1 x + a 0 x 2 2 + a 0 ∑ k = 2 ∞ - 1 k + 1 2 k - 3 ! 2 2 k - 2 k ! k - 2 ! x 2 k

c)

y 0 ∈ R

y ' 0 = 0

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