Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

Considere a equação de Chebyshev:

1 - x 2 y ' ' - x y ' + k 2 y = 0                           ( 1 )

Onde k é uma constante inteiro não-negativo.

  1. Justificar que x = 0 é um ponto ordinário de (1).
  2. Determinar uma cota inferior para o raio de convergência da solução de (1), dada em série de potências em torno de x = 0 .
  3. Determinar a relação de recorrência que satisfazem os coeficientes a n da solução em série de potências citadas no item b.
  4. Considerar k = 4 e determinar as soluções de (1), em série de potências, que verificam a condição y ' 0 = 0 .

Passo 1

a)

Para que x = 0 seja um ponto ordinário temos que p ( 0 ) ≠ 0 , onde p x = 1 - x 2 . Vamos conferir.

p 0 = 1 - 0 2 = 1

Como 1 ≠ 0 então x = 0 é um ponto ordinário para essa equação.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Aqui nós vamos usar um pulo do gato muito legal para achar essa cota inferior utilizando aquele p ( x ) que a gente definiu. Primeiro devemos encontrar as raízes de p ( x ) .

1 - x 2 = 0

x = ± 1

Já sabemos que as raízes desse polinômio são 1 e -1 e tá na hora do pulo do gato. A cota inferior do raio de convergência vai ser a menor distancia de uma das raízes até o nosso ponto ordinário que implica em R = 1 .

Passo 3

c)

Vamos tomar a seguinte série de potencias como solução da nossa EDO

y = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Disso nós teremos as seguintes derivadas

y ' = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 ,     y ' ' = ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2

Substituindo esse valores na nossa EDO teremos

1 - x 2 ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 - x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + k 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 - ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - ∑ n = 1 ∞ n a n x n + k 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Ajustando os índices para só termos séries com x n

∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) ( n + 2 ) a n + 2 x n - ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - ∑ n = 1 ∞ n a n x n + k 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

2 a 2 + k 2 a 0 + 6 a 3 - a 1 + k 2 a 1 x + ∑ n = 2 ∞ n + 1 n + 2 a n + 2 - n 2 - k 2 a n x n = 0

Passo 4

Temos que para a igualdade que encontramos ser sempre igual a zero temos que

2 a 2 + k 2 a 0 = 0 6 a 3 - a 1 + k 2 a 1 = 0 n + 1 n + 2 a n + 2 - n 2 - k 2 a n = 0  

Como queremos a relação de recorrência vamos pegar somente a última equação. Manipulando ela temos.

a n + 2 = n 2 - k 2 n + 1 n + 2 a n

Um detalhe importante é que essa nossa equação teoricamente seria válida para n ≥ 2 , mas observe o que acontece quando fazemos n = 0 e n = 1 nela.

a 2 = 0 2 - k 2 0 + 1 0 + 2 a 0 ⇒ 2 a 2 + k 2 a 0 = 0

a 3 = 1 2 - k 2 1 + 1 1 + 2 a 1 ⇒ 6 a 3 - a 1 + k 2 a 1 = 0

Então, na verdade, essa equação que encontramos é válida para todo n ≥ 0 .

Passo 5

d)

Pelo teorema de Taylor teremos que a 1 = y ' 0 = 0 . Sendo assim, vamos analisar os coeficientes de índice impar.

a 1 = 0

a 3 = - 15 6 a 1 = 0

a 5 = - 7 20 a 1 = 0

Cada termo impar é uma constante multiplicado pelo impar anterior, o que leva, consequentemente, que todos sejam iguais a zero.

a 2 k + 1 = 0

Analisemos os termos pares agora

a 0 = a 0

a 2 = - 8 a 0

a 4 = - a 2 = 8 a 0

a 6 = 0 . a 4 = 0

Todos os termos pares depois do a 6 serão uma constante multiplicada pelo termo anterior, que será zero. Logo só temos os termos a 0 , a 2   e   a 4 . Usando isso na nossa equação teremos.

y x = a 0 1 - 8 x 2 + 8 x 4 ,     x > 0

Resposta

b) R = 1

c) a n + 2 = n 2 - k 2 n + 1 n + 2 a n ,   n ≥ 0  

d) y x = a 0 1 - 8 x 2 + 8 x 4 ,     x > 0

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas