Utilizando o método de séries de potências, resolva a EDO a seguir

y ' ' + x y = 0

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de EDO. Dessa vez temos que resolver EDO´S de segunda ordem usando séries de potências. E aí? Lembram como resolvemos esse tipo de problema com esse método?

Vamos fazer uma revisão!!!!

Assumimos que a solução da EDO é da seguinte forma

y ( x ) = ∑ i = 0 ∞ a i x i

Calculamos

y ' ( x )

Que pela linearidade da derivada é:

y ' ( x ) = ∑ i = 0 ∞ i a i x i - 1

E o

y ' ' ( x )

Que pela linearidade da derivada é:

y ' ' ( x ) = ∑ i = 0 ∞ i ( i - 1 ) a i x i - 2

Depois disso substituímos na equação original para podermos encontrar os valores dos coeficientes a i ´s.

Bora Resolver a EDO

Passo 2

Vamos resolver nossa EDO

y ' ' + x y = 0

Assumimos que a solução é da forma

y ( x ) = ∑ i = 0 ∞ a i x i

Então, pela nossa revisão,

y ' ( x ) = ∑ i = 0 ∞ i a i x i - 1

y ' ' ( x ) = ∑ i = 0 ∞ i ( i - 1 ) a i x i - 2

Substituindo na equação original

∑ i = 0 ∞ i ( i - 1 ) a i x i - 2 + x ∑ i = 0 ∞ a i x i = 0

⇒ ∑ i = 2 ∞ i ( i - 1 ) a i x i - 2 + ∑ i = 0 ∞ a i x i + 1 = 0

vamos fazer i - 2 = u no primeiro somatório e i + 1 = u no segundo, então

∑ i = 2 ∞ i ( i - 1 ) a i x i - 2 + ∑ i = 1 ∞ i a i x i + 1 = ∑ u = 0 ∞ ( u + 2 ) ( u + 1 ) a u + 2 x u + ∑ u = 1 ∞ a u - 1 x u

Dessa forma, podemos juntar os somatórios

= ∑ u = 1 ∞ ( u + 2 ) ( u + 1 ) a u + 2 x u + ∑ u = 1 ∞ a u - 1 x u + 2 a 2

= ∑ u = 1 ∞ ( ( u + 2 ) ( u + 1 ) a u + 2 + a u - 1 ) x u + 2 a 2

mas o enunciado diz que essa soma é zero. Logo os coeficientes que acompanham as potências de x precisam ser zero. Com isso temos:

a 2 = 0

e

( u + 2 ) ( u + 1 ) a u + 2 + a u - 1 = 0

Passo 3

Vamos desenvolver

( u + 2 ) ( u + 1 ) a u + 2 + a u - 1 = 0

isolando a u + 2

a u + 2 = - a u - 1 / ( u + 2 ) ( u + 1 )

fazendo u = 3 , chegamos a

a 5 = - a 2 / ( 5 ) ( 4 )

Mas vimos que

a 2 = 0

Logo

a 5 = 0

De forma análoga, podemos observar que a 8 = 0 . Ou seja

a 3 n - 1 = 0 ,   n ∈ N

Passo 4

Agora, vamos verificar para u = 1 . Então

a 3 = - a 0 / ( 3 ) ( 2 )

E para u = 4 ?

a 6 = - a 3 / ( 5 ) ( 6 )

= a 0 / ( 6 * 5 * 3 * 2 )

Logo, temos que

a 3 n = ( - 1 ) 3 n a 0 / ( [ 3 n ] [ 3 n - 1 ] ) ( [ 3 n - 3 ] [ 3 n - 4 ] . . . )

Por fim, vamos verificar os termos da forma 3 n + 1 para n = 1,2 , 3 . . . Então, usando a nossa relação

a u + 2 = - a u - 1 / ( u + 2 ) ( u + 1 )

temos:

a 4 = - a 1 / ( 4 * 3 )

a 7 = - a 4 / ( 7 * 6 )

= a 1 / ( 7 * 6 * 4 * 3 )

Logo

a 3 n + 1 = ( - 1 ) 3 n a 1 / ( ( [ 3 n + 1 ] [ 3 n - 1 ] ) ( [ 3 n - 3 ] [ 3 n - 4 ] ) . . . )

Logo, a solução geral é:

y ( x ) = ∑ i = 0 ∞ a i x i

com

a 3 n - 1 = 0 ,   n ∈ N

a 3 n = ( - 1 ) 3 n a 0 / ( [ 3 n ] [ 3 n - 1 ] ) ( [ 3 n - 3 ] [ 3 n - 4 ] . . . )

a 3 n + 1 = ( - 1 ) 3 n a 1 / ( ( [ 3 n + 1 ] [ 3 n - 1 ] ) ( [ 3 n - 3 ] [ 3 n - 4 ] ) . . . )

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de EDO, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

e 1 x ( A c o s ( 5 x ) + B s i n ( 5 x ) )

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